¿Por qué no una instrucción condicional, dijo que "no aplica" en lugar de ser "vacuously true" si la hipótesis no está satisfecho? Lo que parecería más apropiado.
Respuestas
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No es adecuado, ya que no refleja el hecho de que la declaración es en realidad vacuously verdadero. Más útil podría ser la comprensión de lo vacuo en realidad significa: sin contenido, vacía, carente de ideas o de la inteligencia, sin sentido, etc.
Por lo tanto, algo así como el siguiente es vacuously verdadero:
Si la luna está hecha de barbacoa y costillas, entonces yo soy más inteligente que Ramanujan.
Este es vacuously verdadero; que es, lógicamente, es cierto, pero en realidad no significa nada. La luna no es, obviamente, hizo de barbacoa y costillas; por lo tanto, cualquier declaración que tengo es cierto de ninguna manera significativa (es decir, la declaración de vacuously cierto).
Diciendo que la proposición "no se aplica"...¿cuál sería el uso en eso? No aplica para qué? Decir que algo es vacuously verdadero comunica lo que en última instancia debe ser comunicado-que una afirmación es verdadera, pero la verdad no tiene sentido.
Milo Brandt
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Íbamos a menudo decir que un enunciado de la forma$P\rightarrow Q$, no se aplicará si $P$ no puede ser asumida. Esta no es una definición o nada formal, aunque es meramente una declaración de que el saber que $P\rightarrow Q$ mantiene no nos da ninguna información acerca de dónde se $Q$ mantiene si $P$ no. Este es, de hecho, una interpretación de lo vacuo verdades a media. Es decir, tenemos dos casos. Si tenemos suerte, obtenemos:
Supongamos $P\rightarrow Q$$P$. Entonces, si nos fijamos en una tabla de verdad, la única manera en que esto podría ser sería si $Q$ eran verdaderas. Por lo tanto, podemos aplicar la declaración de $P\rightarrow Q$ a la situación.
Si nuestra verdad es vacuo, sin embargo, nos encontramos con:
Supongamos $P\rightarrow Q$$\neg P$. Si nos fijamos en una tabla de verdad, vemos que esto podría ser cierto si $Q$ es falso o si $Q$ es cierto. Así que, sabiendo que estos dos hechos no nos dice nada acerca de la $Q$ - por lo tanto, nuestra declaración de $P\rightarrow Q$ no puede ser ventajosamente aplicado.
El punto aquí es que la verdad-definición de la tabla de $P\rightarrow Q$ da lugar al hecho de que vacuously declaraciones verdaderas no son muy útiles. Así, mientras que la definición es contrario a la intuición, se comporta exactamente como esperamos que cuando la aplicamos.
En un sentido intuitivo, si queríamos pensar acerca de una declaración como "si un ave es un cuervo es negro," nos encontraríamos con que, de conformidad con las siguientes observaciones
Vemos un cuervo que es de color negro.
Vemos a un cuervo, que también es negro.
Vemos un arrendajo azul, que es no negro.
que corresponden a las tres "verdadero" de los casos de $P\rightarrow Q$ sobre una tabla de verdad. Nos sorprendería, sin embargo, si hemos visto un cuervo que no era negro, que es el único "falso". Así, la manera en que interpretamos $P\rightarrow Q$ es sólo acerca de "Es que es consistente a creer esto?" no "¿Es útil?"
Jonny
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1970
La frase "vacuously verdadero" es comúnmente aplicado a las declaraciones de $\forall x \in X : P(x) $ porque al $X$ es el conjunto vacío, el enunciado es siempre verdadera, independientemente de lo $P$ representa. Note la relación entre el conjunto vacío y la frase vacua.
El razonamiento aquí es porque la frase $\forall x \in X : P(x) $ es en realidad una abreviatura de $\forall x : x \in X \rightarrow P(x)$. Al $X = \emptyset$, la premisa de la si, a continuación, la declaración es siempre falso-y falsa implica todo.
Por ejemplo, si tengo una bolsa vacía y me la afirmación de que "todo en esta bolsa es de color rojo!", la única manera de demostrar que mi afirmación es falsa, es por encontrar un contraejemplo, algo en la bolsa que no es rojo. Ya que no hay nada en la bolsa, no hay ningún contador de ejemplo, y por lo tanto, la demanda debe ser cierto. Más específicamente, mi reclamo es vacuously verdadero.
La razón de esta misma frase "vacuously verdadero" se aplica, en general, declaraciones como las $P \rightarrow Q$ al $P$ es falso, es debido a la idea de que las propiedades que se pueden representar conjuntos (clases realmente, pero esto no es importante aquí). Al $P$ es falso, la colección de todos los objetos con la propiedad $P$ es el conjunto vacío.
Bruno Bentzen
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