Radio de convergencia de las series de potencia $\sum_{n=0}^\infty c_nz^n $ donde $c_0 = 0$ , $c_1 = 1$ , $c_n =\frac{c_{n-1} + c_{n-2}}{2}$

Question

En mi tarea se supone que debo encontrar el radio de convergencia del conjunto de potencias del título. Se me permite suponer $C = \lim_{n\to\infty} {c_{n+1}\over c_n}$ existe y debemos tratar de averiguar que $C$ tiene que ser. He encontrado $${c_{n+1}\over {c_n}} = {1\over 2} + {c_{n-1}\over{2c_n}} $$ por lo que para $n\to\infty$ : $$C = {1\over2} + {1\over{2C}} \Leftrightarrow C=1$$

lo cual no me ayuda mucho. Investigando $c_n - c_{n-1}$ tampoco me ayudó.

¿Algún consejo sobre lo que podría estar perdiendo aquí? Sé cómo encontrar el radio una vez que he encontrado el límite de la secuencia, pero no puedo encontrarlo.

Answer 1

Supongamos en el caso más general para una secuencia $c_n$ tenemos una ecuación recursiva como la siguiente $$c_n=\sum_{i=1}^{k}a_ic_{n-i}$$ . Ahora defina $C(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^{-n}$ . Esta transformación también se denomina transformación z. Tomando la transformación z de ambos lados de la ecuación recursiva llegamos a la siguiente ecuación: $$C(z)=C(z)\sum_{i=1}^{k}a_iz^{-i}$$ que lleva a la $characteristic$ $equation$ como el siguiente: $$\sum_{n=1}^{k}a_n\lambda^{-n}=0$$ y el $c_n$ puede describirse como una combinación lineal de funciones propias $\lambda_i^n$ como lo siguiente: $$c_n=\sum_{i=1}^{k}b_i\lambda_{i}^n$$ donde todos los $\lambda_i$ se supone que son raíces simples de la función característica. Partiendo de esto, la ecuación característica de $2c_n=c_{n-1}+c_{n-2}$ es $2\lambda^2=\lambda+1$ que tiene dos raíces $\lambda=1$ y $\lambda=-\frac{1}{2}$ y nos lleva a $c_n=A(1)^n+B(-\frac{1}{2})^n$ . También $c_0=0$ y $c_1=1$ por lo tanto $c_n=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}(-\frac{1}{2})^n$ y por sustitución tenemos: $$\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{3}z^n-\frac{2}{3}(-\frac{1}{2}z)^n$$ La convergencia de la serie requiere $|z|<1$ y $|-\frac{1}{2}z|<1$ que finalmente conduce a $|z|<1$ y $R=1$ por lo tanto: $$\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n=\frac{z}{(1-z)(1+\frac{1}{2}z)}\quad,\quad |z|<1$$