Encontrar los momentos de las variables normales

Question

Cómo calcular los momentos de una variable aleatoria normal con media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ ?

Utilizando la integración por partes obtenemos la relación de recurrencia (llamando a $a_n = E(X^n)$ )

$$\begin{cases} a_{n+2} = \mu a_{n+1} + \sigma^2(n+1)a_n \\ a_1 = \mu\\ a_2 = \mu + \sigma^2 \end{cases}$$

Si $\mu = 0$ , $\sigma^2 = 1$ entonces encontramos $a_{2n+1} = 0$ , $\displaystyle a_{2n} = \frac{(2n)!}{2^nn!}= (2n-1)!! $ (doble factorial)

¿Pero en el caso general? ¿Cómo resuelvo la relación de recurrencia escrita anteriormente?

Answer 1

Un enfoque es hacer una transformación para estandarizar la distribución, dándole la recurrencia que ya tiene, y luego deshacer la transformación: por ejemplo, $$X = \mu + \sigma Z$$ implica que $$\operatorname{E}[X^n] = \operatorname{E}[(\mu + \sigma Z)^n] = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \sigma^k \mu^{n-k} \operatorname{E}[Z^k] .$$