Como "vector cero" (todos los elementos $0$ ), ¿tenemos un "vector único" (todos los elementos $1$ ), "dos vectores" (todos los elementos $2$ ), etc.

Question

El vector cero se define como el simple vector formado por ceros puros como elementos. Se etiqueta como el número cero con una flecha encima $\vec 0$ o como un cero en negrita $\boldsymbol 0$ como cualquier otro vector, y a veces veo que se omite el símbolo del vector para que sea sólo un cero $0$ .

$$\vec v=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots\end{pmatrix}=\vec 0=\boldsymbol 0=0$$

Todos estos son simplemente estilos de notación convencionales para el vector cero .

Que yo sepa no tenemos ni hemos definido ningún otro vector que contenga puramente el mismo número como todos los elementos de esta misma manera. ¿Pero habría algún impedimento para hacerlo y definirlo? ¿No podríamos simplemente definir un un vector , a tres vectores , a vector diecisiete etc. del mismo modo:

$$\vec v=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots\end{pmatrix}=\vec 1=\boldsymbol 1=1\qquad\vec v=\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 3 \\ \vdots\end{pmatrix}=\vec 3=\boldsymbol 3=3\qquad\vec v=\begin{pmatrix}17 \\ 17 \\ 17 \\ \vdots\end{pmatrix}=\vec{17}=\boldsymbol{17}=17$$

etc. ¿Por qué nunca se definen así los vectores y se utiliza esa notación cuando lo hacemos para el vector cero? ¿Hay alguna razón para no hacerlo que yo desconozca, o simplemente nunca se ha considerado pertinente hacerlo?

Answer 1

La maleta llena de $1$ s es realmente útil de vez en cuando, por ejemplo, para escribir sumas de entradas en un vector como un producto de puntos en la optimización restringida, o podemos escribir medios de manera similar si dividimos por la dimensión de los vectores. La cuestión de cómo denotar un vector de este tipo ya se ha discutido antes aquí (así como aquí ). En cuanto a, por ejemplo, el uso de $17$ s, también podría poner un coeficiente de $17$ frente a $\vec{1}$ (u otra notación preferida).

Por cierto, hay un caso de dimensión infinita en el que una cantidad todo-uno es etiquetada $1$ , a saber la inversa de Dirichlet de la función de Möbius .

Answer 2

En el caso de los campos (por ejemplo, el campo de los números reales), $0$ y $1$ son números especiales, porque para todo $a$ en el campo, tenemos que $$a+0=a$$ y $$a\cdot 1 = a.$$ Así que son los elementos de identidad de las operaciones. Por otro lado, cuando se trata de espacios vectoriales, no se tiene la multiplicación, sólo la suma, por lo que no se puede definir la identidad multiplicativa.

Sin embargo, puedes equipar $\mathbb{R}^2$ con una multiplicación: $$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd, bc+ad)$$ y obtener el campo de los números complejos, pero hay $1=(1,0)$ (y $i=(0,1)$ ), y no $(1,1)$ .

Answer 3

Todo espacio vectorial es un grupo abeliano con respecto a la adición de vectores y todo grupo abeliano requiere un elemento de identidad (único). Por tanto, siempre se encuentra el vector cero, tanto si se opera en un espacio vectorial abstracto, $\mathbb{R}^n$ o un espacio vectorial de funciones, el vector cero siempre está presente.

Answer 4

La razón es que no hay nada particularmente "especial" "vectorialmente" en el vector uno que no pueda decirse también del vector diecisiete o de cualquier otro vector distinto de cero. El vector cero es, por supuesto, especial, porque es la solución de $\alpha v = 0$ para todos los escalares $\alpha$ .

En realidad, como señala J.G., esto no es 100% cierto en $\mathbb R^n$ lo que conlleva todo tipo de cargas extrañas que no se verían en espacios vectoriales más "simples". Y, obviamente, la identidad multiplicativa en el espacio escalar es muy importante, porque es la solución a $\alpha v=v$ para todos los vectores $v$ . Pero como vectores en sí, no tanto.