¿Es la serie uniformemente convergente?

Question

Dejemos que $$f(x)=\sum_1^\infty (-1)^{n+1}\frac{e^{-n^2x^4}}{n}.$$ Es $f$ uniformemente convergente en [0,1] y en $\mathbb{R}_+$ ? Intenté usar la prueba de comparación pero fallé.

Answer 1

Pista. Deja que $a_n(x)=\frac{e^{-n^2x^4}}{n}$ , entonces para $x\in \mathbb{R}$ , $a_n(x)$ va a $0^+$ monótonamente como $n\to \infty$ . Por lo tanto, para $N\geq 1$ , $$\left|\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}a_n(x)-\sum_{n=1}^N (-1)^{n+1}a_n(x)\right|\leq a_{N+1}(x).$$

Answer 2

Para una serie alterna $\sum\limits_1^\infty(-1)^{n+1}a_n$ podemos utilizar la siguiente cota para las sumas parciales si $\{a_n\}$ es una secuencia positiva y decreciente que converge a $0$ :

$$ |s_m - s_n| < a_{k+1} \;\; \forall n, m \geq k$$

Tenga en cuenta que $\sup\limits_{[0,1]}\left|\dfrac{e^{-(k+1)^2x^4}}{k+1}\right| = \dfrac{1}{k+1} \xrightarrow{k\rightarrow\infty} 0$ .