¿Existe un mapa del toro a la superficie de género 2 que sea inyectivo en la homología?

Question

Dejemos que $T$ denotan el toroide y $M_2$ la superficie de género 2. En concreto, me pregunto si existe un mapa $f\colon T\to M_2$ tal que $f_*\colon H_1(T)\to H_1(M_2)$ es inyectiva. Pensando en los generadores explícitos de cada uno de estos grupos, me parece que no existe tal mapa, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo. Considerando los polígonos fundamentales de estas superficies y suponiendo $f$ es celular, parece que si tal mapa existe, entonces tendría que "envolver" $T$ completamente alrededor de $M_2$ y enviar cada generador en $H_1(T)$ a una suma en $H_1(M_2)$ .

Tenga en cuenta que no todos los mapas $T\to M_2$ son nulo-homotópicos: existe un mapa que envía un generador de $H_1(T)$ a un generador de $H_1(M_2)$ y el otro a $0$ proyectando $T$ en un anillo y mapearlo en el generador deseado.

Answer 1

Dejemos que $M_g$ sea un género $g$ superficie, $g>1$ .

Si tuvieras algún mapa $f: T \to M_g$ induciendo una inyección en la primera homología, también induciría una inyección en los grupos fundamentales. Esto se debe a que el mapa sobre la primera homología es la abelianización del mapa sobre los grupos fundamentales, y $\pi_1(T)$ ya es abeliana.

Así que si este fuera el caso, $\pi_1(M_g)$ tendría un subgrupo isomorfo a $\Bbb Z^2$ . Así que por la teoría general del espacio de cobertura $M_g$ tiene un espacio de cobertura con grupo fundamental $\Bbb Z^2$ ya que todos los espacios de cobertura de una superficie son superficies, y (por la clasificación de las superficies compactas, y porque los grupos fundamentales de las superficies no compactas son libres ) la única superficie con grupo fundamental $\Bbb Z^2$ es el toro, esto significa que hay un mapa de cobertura $T \to M_g$ . Porque $T$ es compacta, ésta debe ser una cubierta de lámina fina. Pero si $X \to Y$ es un $n$ -de complejos CW finitos (o colectores, si se quiere), entonces $\chi(X) = n\chi(Y)$ y $\chi(T) = 0, \chi(M_g) = 2-2g$ . Esto es una contradicción.

Así que no hay mapa $T \to M_g$ para $g>1$ induce una inyección en la primera homología.

Como resultado, podemos clasificar todos los mapas $T \to M_g$ hasta la homotopía.

Porque existe un mapa único hasta la homotopía $K(\pi, 1) \to K(\pi',1)$ para cada homomorfismo $\pi \to \pi'$ y la cubierta universal de $M_g, g>0$ es homeomorfo a $\Bbb R^2$ , $M_g$ es un $K(\pi,1)$ . Porque ahora sabemos que ningún mapa $\Bbb Z^2 \to \pi_1(M_g)$ es inyectiva (¡esta es la única parte que no podíamos hacer de antemano!), $\pi_1(M_g)$ no tiene torsión (si la tuviera, hay un cociente de superficie de $\Bbb R^2$ con grupo fundamental finito; pero esta superficie debe ser no compacta así que como arriba no es posible), y los únicos cocientes libres de torsión (que no son el "cociente trivial") de $\Bbb Z^2$ son $\Bbb Z$ y el grupo trivial, la imagen de cualquier homomorfismo $\Bbb Z^2 \to \pi_1(M_g)$ es cíclico o trivial.

En el primer caso, podemos factorizar el homomorfismo como $\Bbb Z^2 \to \Bbb Z \to \pi_1(M_g)$ donde el primer mapa es el cociente por $\langle (a,b)\rangle$ , donde $\text{gcd}(a,b) = 1$ . Dicho mapa se representa mediante un mapa $T \to T \to S^1$ que envía $(a,b)$ a $(0,1)$ y luego la proyección sobre el primer factor de $T = S^1 \times S^1$ . El mapa $S^1 \to M_g$ , entonces, es sólo el mapa que representa algún elemento de $\pi_1(M_g)$ .

Así que las clases de homotopía de los mapas $T \to M_g$ son el mapa trivial, y los que factorizan como arriba.