Me siento cómodo con la definición de adjoint functors. He hecho un par de ejercicios de probar que determinados pares de functors son adjoint (tensor y hom, sheafification y olvidadizo, imagen directa y la inversa de la imagen de las poleas, especificaciones y global secciones, ect) pero me falta la imagen más grande.
Qué debo hacer si un functor ha dejado adjunto? ¿Qué me dicen sobre el functor?
La respuesta a esta pregunta es la misma que la respuesta a todas las preguntas de este género ("¿por qué debo preocuparme por los grupos", "¿por qué debo preocuparme por los anillos"): se muestran todas partes y son extremadamente útiles, principio de organización.
Hay un meta-principio de que en cualquier momento que usted está tratando de entender algo acerca de las categorías, es una buena idea para restringir el caso especial de posets primero, considerado como categorías en que $a \le b$ significa que no hay una sola flecha $a \a b$. Por ejemplo:
Entonces, ¿qué son un par de adjoint functors en este contexto? Bueno, si $P, Q$ son dos posets, a continuación, un functor $f : P \Q$ es simplemente una orden-la preservación de la función. Así que un par de adjoint functors es, ante todo, un par de $f : P \Q, g : Q \a P$ de el fin de la preservación de las funciones. La definición que yo creo que es más conveniente a la hora de estudiar posets es que $f, g$ debe satisfacer
$$\text{Hom}_Q(fa, b) \cong \text{Hom}_P(a, gb)$$
para todo $a \in P, b \in Q$. Pero esto es la misma cosa como el requisito de que
$$fa \le b \Leftrightarrow \le gb.$$
Esta relación se llama una conexión de Galois. Ejemplos importantes de Galois conexiones incluyen:
Conexiones de Galois existen en la extrema generalidad y son, de por sí, ya es un importante principio de organización en las matemáticas. Así que adjunto functors son incluso más importante que eso!
Edit: Es probablemente vale la pena explicar lo que está pasando en los ejemplos anteriores de manera abstracta. Deje que $A, B$ dos juegos, y dejar que $r : A \times B \a \{ 0, 1 \}$ una relación. Entonces $r$ induce una orden de marcha atrás con conexión de Galois (un par de contravariante adjunto functors) entre el poset de $\mathcal{P}(A)$ de subconjuntos de $A$ y el poset de $\mathcal{P}(B)$ de subconjuntos de $B$ de la siguiente manera: si $S \subconjunto De$ entonces $f(S) = \{ b \in B : r(a, b) = 1 \forall \S \}$ e si $S \subconjunto B$ entonces $g(S) = \{ a \: r(a, b) = 1 \forall b \in S \}$. Lo voy a dejar como un ejercicio de averiguar lo que $A, B, r$ están en los ejemplos anteriores.
Tenga en cuenta también que el hecho de que la izquierda adjoints preservar colimits y derecho adjoints preservar los límites mantiene para las conexiones de Galois, y muestra que algunas de las propiedades de las conexiones de Galois de arriba son puramente formal (en el sentido de que seguir a partir de este "resumen tonterías"). Desafortunadamente, por lo general, no hincapié en que las propiedades de aquéllos.
El artículo de la Wikipedia hace un buen trabajo explicando algunos aspectos generales de la motivación (y tiene un montón de buena discusión sobre esta cuestión, además de): muy groso, un adjunto es el mejor sustituto para una inversa que existe en muchos de los casos que nos preocupan. Usted puede ordenar de ver cómo funciona esto en los ejemplos anteriores.
Una propiedad importante de adjoint pares es que se restringen a las equivalencias en subcategorías, y esto es lo que tenemos en la teoría de Galois y la geometría algebraica ejemplos anteriores: la primera adjunto par es una equivalencia por el teorema fundamental de la teoría de Galois, y el segundo adjunto par restringe a una equivalencia entre la reducción de los ideales y de las variedades por el Nullstellensatz.
Ya que tu pregunta está etiquetada [algebraicas geometría], aquí es importante no ejemplo en relación con la segunda mitad de Arturo respuesta. Hay un functor $F : \text{As} \\text{Set}$ el envío de un esquema afín a su conjunto de puntos (el primer ideales de la correspondiente anillo), y lo hace no tiene un adjunto a la izquierda: no hay "libre afín esquema" en un conjunto. La razón es que $F$ no preservar los límites. (Tenga en cuenta que un functor tiene un adjunto a la izquierda si y sólo si es un derecho medico adjunto.) De hecho, incluso no conservar los productos. El producto de dos afín a los esquemas de $\text{Spec } R, \text{Spec S}$ es $\text{Spec } R \otimes_{\mathbb{Z}} S$, y es una propiedad básica de los esquemas que este no es el conjunto teórico de producto.
De ello se desprende que el functor $F : \text{As} \\text{Top}$ el envío de un esquema afín a su conjunto de puntos en la topología de Zariski también no tiene un adjunto a la izquierda. Si alguna vez te has preguntado por qué la topología de Zariski en $\mathbb{A}^2$ no es el producto de la topología en $\mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1$, ahora que usted sabe.
Por un lado, se indica que el functor respeta colimits.
Por ejemplo, el "grupo" functor es la izquierda adjunto de la "base" functor de $\mathcal{G}grupo$ de $\mathcal{S}et$. El hecho de que es una izquierda adjunto le dice que respeta colimits, por lo que el grupo libre de un subproducto es el subproducto de la libre grupos. El "subproducto" en $\mathcal{S}et$ es distinto de la unión, y el subproducto de $\mathcal{G}grupo de dólares es el producto libre: el libre grupo en un discontinuo de la unión $X\copa Y$, $F(X\copa Y)$, es (isomorfo a) el producto libre de la libre grupos en $X$ y $Y$, $F(X)*F(Y)$.
Doblemente, a la derecha adjoints respetar los límites; por lo que en el caso anterior, el conjunto subyacente de un producto de grupos es el producto de la base de los conjuntos de los grupos.
Añadido: alguna Vez se preguntó por qué el conjunto subyacente de un producto de espacios topológicos es el producto de la base de conjuntos, y el conjunto subyacente de un subproducto de espacios topológicos es también el subproducto/discontinuo de la unión de los conjuntos subyacentes de los espacios topológicos? ¿Por qué las construcciones en espacios topológicos siempre parecen empezar haciendo lo correspondiente a los conjuntos, pero en otras categorías como $\mathcal{G}grupo$, $R-\mathcal{M}od$, sólo algunas de las construcciones hacer eso? (Sé que me hizo) Es porque mientras en $\mathcal{G}grupo$ el conjunto subyacente functor ha dejado adjunto, pero no un derecho adjuntos, en $\mathcal{T}op$, el conjunto subyacente functor tiene tanto una izquierda y una derecha adjoint (dado por dotar al conjunto con el discreto y indiscreta topologías).
De acuerdo a MacLane, el lema es, "Adjoint functors surgir en todas partes". Así que hay una buena razón para estudiar!
Tener un adjunto indica que el functor desplazamientos (sea) límites o colimits. Si un functor tiene un adjunto a la izquierda, a continuación, se conmuta con colimits, mientras que si se tiene un derecho adjuntos, los viajes con los límites. Para el buen categorías, a veces se puede concluir que el conversar.
Un ejemplo de esto está en una abelian categoría. En el caso de la $R$-módulos, por ejemplo, la contigüidad entre Hom y el producto tensor muestra que el producto tensor es derecho-exacto (un.k.una. desplazamientos finitos colimits). Este es un punto de vista más conceptual argumento de que la usual.
Otro ejemplo es el siguiente. Deje que $X$ ser localmente compacto Hausdorff espacio. A continuación, el functor $Z \mapsto Z \veces X$ tiene un adjunto (es decir, el functor $Y \mapsto Y^X$). De ello se desprende que la toma de productos con valor de $X$ conserva push-out diagramas, y más generalmente todos los colimits. Esto es útil a veces en topología algebraica. Por ejemplo, si usted tiene un empuje $A \cup_B C$ y homotopies $A \times I \Z$ y $C \times I \Z$ que está de acuerdo en $B \times I$, usted recibe un homotopy $(\cup_B C) \times I \Z$, la continuidad de los cuales pueden no ser inmediatamente obvio lo contrario.
Ha sido alrededor de la mitad de un año desde que hice esta pregunta y he aprendido mucho más de la categoría de teoría desde entonces. Todas las respuestas anteriores son excelentes. Una cosa que todo el mundo dice es que a la izquierda (resp. derecho) adjunto desplazamientos con colimits (resp. los límites). De hecho, esta es una de las mejores cosas acerca de saber que dos functors son adjoints.
Se puede decir más acerca de la relación entre adjoints y (co)límites.
${\rm \bf Teorema:}$ Deje de $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ ser categorías y suponga que $G : \mathcal{A} \\mathcal{B}$ y $F : \mathcal{B} \\mathcal{A}$ son functors. Los siguientes son equivalentes:
- Existe un isomorfismo natural $\tau : {\rm Mor}(F -, -) \{\rm Mor}(-,G-)$
- Existe naturales transformaciones $\eta : 1_{\mathcal{B}} \G \circ F$ y $\epsilon : F \circ G \a 1_{\mathcal{A}}$ tal que $$ F(B) \stackrel{F(\eta_B)} {\,} F \circ G \circ F(B) \stackrel{\epsilon_{F(B)}} {\,} F(B) $$ y $$ G(A) \stackrel{\eta_{G(B)}} {\,} G \circ F \circ G(A) \stackrel{G(\epsilon_A)} {\,} G(A) $$ son las señas de identidad morfismos
- existe una transformación natural $\eta : 1_{\mathcal{B}} \G \circ F$ tal que para todo $B \in \mathcal{B}$, $\eta_B$ es un $G$-universal de morfismos
- existe una transformación natural $\epsilon : F \circ G \a 1_{\mathcal{A}}$ tal que para todo $A \in \mathcal{A}$, $\epsilon_A$ es un $F$-couniversal de morfismos
Si cualquiera de las condiciones del teorema anterior son satisfechos, nos dicen que $(F,G)$ es un adjunto par. Vladimir Sotirov hablado de este teorema en su respuesta.
- $\eta_B : B \G \circ F(B)$ es un $G$-universal de morfismos significa que para todos los morfismos $f : B \a G (A)$ en $\mathcal{B}$, no existe un único morfismos $\bar{f} : F(B) \a$ tal que $$G(\bar{f}) \circ \eta_B = f$$
- $\epsilon_A : F \circ G(A) \a$ es un $F$-universal de morfismos significa que para todos los morfismos $f : F(B) \$ $\mathcal{A}$, no existe un único morfismos $\bar{f} : B \a G(A)$ tal que $$ \epsilon_A \circ F(\bar{F}) = f$$
Ahora vamos a $I$ a ser una categoría de pequeña y $\mathcal{A}^I$ a ser la categoría cuyos objetos son functors $I \a \mathcal{A}$ y cuyos morfismos son naturales transformaciones. Hay una natural functor $\Delta \mathcal{A} \\mathcal{A}^I$ definen de la siguiente manera:
- $\Delta(A) : I \a \mathcal{A}$ se asigna a cada objeto de la $I$ a $$ y cada uno de los morfismos de $I$ a la identidad en $Un$
- si $f : A \B$ es un morfismos en $\mathcal{A}$, entonces $\Delta(f)$ es la transformación natural definido por $\Delta(f)_i = f$
Por el teorema anterior, diciendo que cada functor $D : I \a \mathcal{A}$ tiene un colimit es exactamente lo mismo que decir que ${\rm colim} : \mathcal{A}^I \a \mathcal{A}$ es una izquierda adjunto de $\Delta$. Diciendo que cada functor $D : I \a \mathcal{A}$ tiene un límite, es exactamente lo mismo que decir que ${\rm lim} : \mathcal{A}^I \a \mathcal{A}$ es un derecho adjoint de $\Delta$
La perspectiva en adjoint functors ayuda que he encontrado (aunque uno que no sé de lo útil que será en el largo plazo) es que adjunto functors corresponden a ciertas universal de construcciones.
Para un ejemplo concreto, entonces para cualquier conjunto $S$ podemos caracterizar a la libre $R$-módulo $FS$ en la $S$ (junto con la inclusión de mapa $i\colon S\a FS$) hasta el isomorfismo por la obvia universal de los bienes: si $f\colon S\N$ es cualquier función de la $S$ en el módulo $N$, entonces existe un único módulo homomorphism $\phi\colon FS\N$ tal que $\phi\circ i=f$, es decir, un único módulo homomorphism determinado por la imagen de la base de los elementos de $S$ de $FS$.
Ahora, esto es descuidado, ya que lo que estamos haciendo es mezclar categorías. Para desenredar el lío, se introduce el olvidadizo functor $G:R$-$Mod\a Conjuntos de dólares que asocia a cada módulo de más de $R$ su conjunto subyacente, y a cada módulo homomorphism su conjunto subyacente-función). Entonces podemos expresar el anterior universal de los bienes de una manera más limpia diciendo que para un módulo $FS$ junto con una inclusión set-mapa de $i\colon S\a GFS$ (que vive en $Conjuntos$) es el módulo en el conjunto $S$ si para cada conjunto de mapa de $f\colon S\GN$ donde $N$ es un $R$-módulo, no existe un único módulo homomorphism $\phi\colon FS\N$ que $G\phi\circ i=f$.
Alternativamente, esto puede ser expresado mediante la definición para cada conjunto $S$ de la coma categoría $(S\downarrow G)$ cuyos objetos son pares $(f,N)$ donde $N$ es un $R$-módulo de e $f\colon S\GN$ es una función, y cuyos morfismos entre $(f_1), M)$ y $f(f_2,N)$ están dados por los morfismos $\phi\colon M\N$ que $f_2=G\phi\circ f_1$, es decir, morfismos que hacer el correspondiente triángulo de viaje. Entonces, podemos decir que $i,FS)$ es el módulo en el conjunto $S$ si es que el objeto inicial de la coma categoría $(S\downarrow G)$.
Resulta que si existe un objeto inicial en $(S\downarrow G)$ para todo $S$, entonces la elección inicial de los objetos de $(\epsilon_S, FS)$ de cada categoría $(S\downarrow G)$ nos permite ampliar la asociación $S\a FS$ a un functor, y que functor (hasta natural de equivalencia) la izquierda medico adjunto de $G$ (esto hace que $\epsilon\colon I\a GF dólares la unidad). En otras palabras, que $G$ ha dejado adjunto significa que codifica una(n) universal de la propiedad que se tiene para cada objeto en el codominio de la categoría de $G$.
Mostrar la equivalencia de las tres definiciones de adjoint functors en el artículo de la wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors#Formal_definitions) que he encontrado para ser un pesado, pero muy gratificante ejercicio (mucho más que el de la comprobación de si determinados pares de functors son adjuntos o no).
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