¿Puedo construir cualquier cosa (dentro de lo razonable) al construir una prueba?

Question

Pido disculpas si es una pregunta tonta, pero tengo curiosidad por esto. ¿Es aceptable afirmar cualquier cosa (siempre que sea lógicamente sólida) durante la construcción de una prueba geométrica? Por ejemplo, digamos que tengo $\triangle$ ABC y $\triangle$ DEF. Digamos que tengo algunos datos y quiero demostrar la equivalencia de estos dos triángulos. ¿Qué pasa si quiero decir que hay algún punto G que cuando se conecta a B hace un ángulo congruente con el ángulo creado por algún punto H conectado a E? ¿Es lógicamente aceptable afirmar simplemente que las líneas que he creado producen dos ángulos que son equivalentes entre sí? ¿O tengo que demostrar que estos ángulos son equivalentes? Supongo que no tengo claro dónde está el límite (sin juego de palabras) para construir afirmaciones auxiliares cuando se construye una prueba. De nuevo, pido disculpas si es una pregunta tonta.

EDIT 1: Estoy tratando de probar que $\triangle$ ABC $\cong$ $\triangle$ DEF con las siguientes premisas:

1. $\angle$ A $\cong$ $\angle$ D
2. Segmento AC $\cong$ Segmento DF

Se me ocurrió decir que había algún punto G conectado al punto B, y algún punto H conectado al punto E, conectados de tal manera que sus ángulos eran idénticos. Entonces quería declarar/construir un punto X que es una altitud y una mediana para $\triangle$ GAB y un punto Y que también es una altitud y una mediana para $\triangle$ DEH. A continuación, he dicho que porque $\triangle$ GAB y $\triangle$ DEH eran isoceles, segmento AB $\cong$ segmento DE. Eso junto con Givens 1 y 2 habría sido mi prueba SAS.

Answer 1

La cantidad que hay que escribir para justificar cualquier afirmación en una prueba depende mucho del contexto. Si estás escribiendo para un público, tienes que saber hasta qué punto pueden completar los detalles.

Si está escribiendo una tarea para un curso, su instructor debe indicarle la cantidad de detalles que debe incluir.

Les digo a mis alumnos que escriban lo suficiente para convencerme de que se han convencido por buenas razones; convencerme no es suficiente porque ya sé lo que es verdad. En un curso avanzado está bien saltarse las explicaciones de los pasos que son esencialmente elementales y "obvios". En un curso introductorio espero ver argumentos completos. Si un alumno escribe demasiado, puedo señalar lo que es innecesario.

Answer 2

Una afirmación de que algo existe es en sí misma una afirmación matemática. A nivel formal, si en medio de una demostración se afirma que algún objeto existe y satisface algunas propiedades, entonces, como en cualquier otro paso de una demostración, hay que justificar esa afirmación. A veces tu justificación será un axioma, a veces será una construcción anterior, o quizás otro teorema que ya se ha demostrado que es verdadero.

En cuanto a la redacción de sus propias pruebas, yo diría que su primer público es usted mismo: ¿Está convencido de que usted ¿conocer la justificación correcta?

Después, en general, no se acepta nada como "evidente" en matemáticas. Sin embargo, siempre hay que tener en cuenta a los lectores u oyentes. Si tu lector/oyente es un profesor, tienes que saber qué normas espera: por ejemplo, probablemente tu profesor no te exigirá que cites los axiomas más simples cada vez que se utilicen para justificar algo en una demostración. Si tu lector/oyente es un compañero de clase, tienes que tener una idea de lo que entienden: si tú y ellos tienen un conjunto de conocimientos comunes sobre los principios más simples de la demostración, probablemente no tengas que justificar cosas que caen dentro de ese conjunto común.

Pero aquí hay algunas experiencias que se si se persiguen las matemáticas lo suficiente: pensarás que algún paso de una demostración es obvio, pero tu oyente no lo creerá y exigirá una justificación, por lo que será mejor que estés preparado para satisfacerlo. O bien pensarás que algún paso es obvio, pero más adelante tú mismo empezarás a tener profundas sospechas sobre el curso de tu demostración, y rastrearás esas sospechas hasta el paso "obvio", que de repente dejará de ser obvio, y tú realmente, realmente quiere saber si ese paso se puede justificar.