Mostrar que $1/2+2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ No está aumentando en ningún $(a,b)\supset\{0\}$

Question

Hay un ejercicio en la obra de Stephen Abbott Comprender el análisis que establece:

Ejercicio 5.3.7. (b) Demuestre que la función $$g(x)=\begin{cases} x/2+x^2\sin(1/x)&\text{ if }x\neq0\\\ 0&\text{ if }x=0 \end{cases}$$ es diferenciable en $\mathbb{R}$ y satisface $g'(0)\geq0$ . Ahora, demuestre que $g$ es no creciente en cualquier intervalo abierto que contenga $0$ .

En primer lugar, sé que para $x=0$ , $$g'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x/2+x^2\sin(1/x)}{x}=\lim_{x\to0}\left[\frac{1}{2}+x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right]=\frac{1}{2}\geq0,$$ y para $x\neq0$ , $$g'(x)=\frac{1}{2}+2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right).$$ Por lo tanto, $$g'(x)=\begin{cases} 1/2+2x\sin(1/x)-\cos(1/x)&\text{ if }x\neq0\\\ 1/2&\text{ if }x=0, \end{cases}$$ y $g$ es diferenciable en $\mathbb{R}$ .

Sin embargo, no sé cómo demostrar formalmente que si $(a,b)$ es un intervalo abierto que contiene $0$ entonces $g$ no está aumentando en él; la idea que tengo es tener en cuenta que como $x$ se acerca a $0$ , oscila "más rápido", por lo que siempre se pueden encontrar dos puntos diferentes $x,y\in(a,b)$ tal que $g'(x)>0$ y $g'(y)<0$ . ¿Es una afirmación válida? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo? Gracias de antemano.

Answer 1

Sí, eso funcionaría. Desde $g$ es diferenciable en $(a,b)$ se estaría incrementando en $(a,b)$ si y sólo si $g'\ge0$ en $(a,b)$ . Por lo tanto, sólo hay que encontrar un punto $c$ en $(a,b)$ donde $g'(c)<0.$

Prueba un punto $c$ donde $\cos(1/c)=1$ . Estos puntos serían de la forma ${1\over 2n\pi}$ . Tenemos $$\textstyle g'({\textstyle{1\over 2n\pi}})= {1\over2}+ {1\over n\pi}\cdot\sin(2n\pi) -\cos(2n\pi)={1\over2}+0-1={-1\over2}. $$

Como puede seleccionar $n$ tan grande que ${1\over 2n\pi}$ está en $(a,b)$ has terminado.

Answer 2

Sí, este es el camino correcto. En su expresión para $g'(x)$ , se ve que el término $\cos(1/x)$ oscila infinitamente entre $-1$ y $+1$ en cualquier intervalo abierto que contenga el cero, y debido a este hecho, tal intervalo contiene infinitamente muchos pequeños subintervalos donde $g'>0$ e infinitas en las que $g'<0$ .