Prueba de identidad de la matriz

Question

Dejemos que $A$ y $C$ sea $3 \times 2$ y dejemos que $B$ ser un $2 \times 2$ matriz tal que $AB=C$ . Demuestra que:

$$||A_1 \times A_2 || \cdot |\det B| = ||C_1 \times C_2 ||$$

donde $A_i$ y $C_i$ son los $i$ columnas de $A$ y $C$ .

Answer 1

Escriba $A_n=(a_{1n},a_{2n},a_{3n})$ , $C_k=(c_{1n},c_{2n},c_{3n})$ y recordar $$ A_1\times A_2= \left|\matrix{i&j&k\\ a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}} \right|= \left|\matrix{i&a_{11}&a_{12}\\ j&a_{21}&a_{22}\\k&a_{31}&a_{32}} \right|. $$

Ahora observe que $$ \left( \matrix{i&a_{11}&a_{12}\\ j&a_{21}&a_{22}\\k&a_{31}&a_{32}}\right)\cdot \left(\matrix{1&0\\0&B }\right)=\left( \matrix{i&c_{11}&c_{12}\\ j&c_{21}&c_{22}\\k&c_{31}&c_{32}}\right)$$ se desprende de la suposición $AB=C$ .

Ahora toma el determinante y usa su multiplicidad para obtener $$\det\left( \matrix{i&a_{11}&a_{12}\\ j&a_{21}&a_{22}\\k&a_{31}&a_{32}}\right)\det \left(\matrix{1&0\\0&B }\right)=\det\left( \matrix{i&c_{11}&c_{12}\\ j&c_{21}&c_{22}\\k&c_{31}&c_{32}}\right). $$

Así, tenemos

$$ (A_1\times A_2)\det B=C_1\times C_2. $$

Por último, toma la norma para obtener la fórmula deseada.

Answer 2

Esta es la misma respuesta que la de Julien arriba, con la $i,j,k$ sustituido por un equivalente funcional lineal.

El producto cruzado $x \times y$ puede definirse como el único vector que satisface $\langle z, x \times y \rangle = \det \begin{bmatrix} x & y & z\end{bmatrix}$ .

Si $z$ es un vector arbitrario, entonces $\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & z\end{bmatrix} \begin{bmatrix} B & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & z\end{bmatrix} \begin{bmatrix} B & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Ab_1 & A b_2 & z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & z\end{bmatrix}$ .

Esto da $\langle z, c_1 \times c_2 \rangle = \det \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & z\end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & z\end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} B & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \langle z, (\det B)(a_1 \times a_2) \rangle$ .

La singularidad da el resultado deseado.