Creo que has detectado una laguna en la prueba de Jacobs, ya que sólo muestra que las fibraciones débiles (empalmadas) son bifractos débiles si y sólo si sus funtores de reindexación tienen adyacentes izquierdos. La razón por la que un hueco en un argumento de fibración puede producir un argumento de fibración débil es que una fibración débil es un funtor cuya restricción a la preimagen de cualquier subcategoría de la forma $\circlearrowright\to\circlearrowright$ es un fibrado. En consecuencia, un argumento de fibración que no mencione la composición de morfismos cartesianos sólo será válido para las fibraciones débiles.
Sin embargo, es cierto que al ser un fibrado se garantiza $p$ -los morfismos débilmente cocartesianos son cocartesianos. Demostraré el doble enunciado utilizando la siguiente relativización de la noción de cartesiano.
Definición. Relativo a un functor $\mathcal C\xleftarrow{p}\mathcal F$ decimos que un morfismo $B\xrightarrow{\gamma}C\in\mathcal F$ en $Y\xrightarrow{g}Z\in\mathcal C$ (es decir, con $p\gamma=g$ ) es $f$ -cartesiano para un morfismo $X\xrightarrow{f}Y\in\mathcal C$ si cada $A\xrightarrow{\eta}C$ en $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$ factores de forma única como $A\xrightarrow{\phi}B\xrightarrow{\gamma}C$ con $p\phi=f$ . Un morfismo en $\mathcal F$ se llama cartesiano débil si es $\mathrm{id}$ -cartesiano, y cartesiano si es $f$ -cartesiano para cada morfismo $f$ con un codominio apropiado. A su vez, decimos que un morfismo es $f$ -cocartesiano si es $f$ -cartesiano relativo al functor dual $\mathcal C^{op}\xleftarrow{p^{op}}\mathcal F^{op}$ .
Para tener una idea de esta relativización, considere lo que sucede con el lema de retroceso.
Lema (Lema de Pullback generalizado). Dado un par de morfismos $A\xrightarrow{\phi}B\xrightarrow{\gamma}C$ en $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$ y un morfismo $W\xrightarrow{h}X$ dos de las siguientes propiedades implican la tercera:
- $\phi$ es $h$ -cartesiano
- $\gamma\circ\phi$ es $h$ -cartesiano
- $\gamma$ es $f\circ h$ -cartesiano
En particular, los morfismos cartesianos son cerrados bajo composición y post-cacelación.
Prueba. Supongamos 3., que $\gamma$ es $f\circ h$ -cartesiano. A continuación, la postcomposición con $B\xrightarrow{\gamma}C$ da una biyección entre morfismos $D\to C$ en $W\xrightarrow{h}X\xrightarrow{g\circ f}Z$ y morfismos $D\to B$ en $W\xrightarrow{h}X\xrightarrow{f}Y$ . Como la poscomposición y la precomposición conmutan, obtenemos la equivalencia de 1. y 2. A la inversa, supongamos 1. y 2., y observemos que un morfismo $D\to C$ en $W\xrightarrow{f\circ h}Y\xrightarrow{g}Z$ factores como $D\to A\xrightarrow{\gamma\circ\phi}C$ y que un morfismo $D\to B$ en $W\xrightarrow{h}X\xrightarrow{f}Y$ factores de forma única como $D\to A\xrightarrow{\phi}B$ .
Definición. Decimos que un morfismo $X\xrightarrow{f}Y\in\mathcal C$ tiene $g$ -Los ascensores cocartesianos para un morfismo $Y\xrightarrow{g}Z\in\mathcal C$ si para cada objeto $A\in\mathcal F$ en $X\in\mathcal C$ hay un $g$ -morfismo cocartesiano $A\xrightarrow{\phi'}B'\in\mathcal F$ en $X\xrightarrow{f}Y\in\mathcal C$ . Decimos que $\mathcal C\xleftarrow{p}\mathcal F$ es un opfibración si cada morfismo en $\mathcal C$ tiene ascensos cocartesianos.
Lema. Un cartesiano débil $B\xrightarrow{\gamma}C$ en $Y\xrightarrow{g}Z$ es $f$ -cartesiano si $X\xrightarrow{f}Y$ tiene $g$ -Los ascensores cocartesianos. En particular, los morfismos cartesianos débiles en una opfibración son morfismos cartesianos.
Prueba. Si $X\xrightarrow{f}Y$ tiene un $g$ -Levantamiento cocartesiano $A\xrightarrow{\phi}B'$ , entonces cualquier $A\xrightarrow{\eta}C$ en $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$ factores de forma única como $A\xrightarrow{\phi}B'\xrightarrow{\gamma'}C$ con $p\gamma'=g$ . Por lo tanto, si $B\xrightarrow{\gamma}C$ es cartesiano débil sobre $Y\xrightarrow{g}Z$ tenemos otra factorización única $B'\xrightarrow{\beta}B\xrightarrow{\gamma}C$ en $Y\xrightarrow{\mathrm{id}_Y}Y\xrightarrow{g}Z$ Por lo tanto $A\xrightarrow{\eta}C$ en $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{\mathrm{id}_Y}Y\xrightarrow{g}Z$ factores de forma única como $A\xrightarrow{\phi}B'\xrightarrow{\beta}B\xrightarrow{\gamma}C$ .
