La función $f (n) = (1 + 1 / n) ^ {n+1}$ está disminuyendo

Question

No puedo demostrar que la función $$f (n) = \left(1 + \frac1n\right) ^ {n + 1},$$ definida para cada número entero positivo $n$ es estrictamente decreciente en $n$ . Ya intenté demostrar por inducción y también intenté demostrar calculando la diferencia entre $f (n + 1)$ y $f (n)$ . Necesito ayuda.

Answer 1

Puede que esto ayude:

$f_n/f_{n+1}=\frac{(1+1/n)^{n+1}}{(1+1/(n+1))^{n+2}}=(\frac{1+1/n}{1+1/(n+1)})^{n+1}\times\frac{1}{1+1/(n+1)}=(1+1/(n^2+2n))^{n+1}\times\frac{1}{1+1/(n+1)}$

Pero

$$(1+1/(n^2+2n))^{n+1}>1+\frac{n+1}{n^2+2n}>1+\frac{n+1}{(n+1)^2}=1+1/(n+1)$$

Answer 2

Utilice el Teorema Binomial,

$\left(1+\frac1n\right)^{n+1}>\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+2}=\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}\left(1+\frac1{n+1}\right)$

$\iff \left(1+\frac1n\right)^{n+1}\Big/\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}>\left(1+\frac1{n+1}\right)$

pero el LHS sí,

$\left(1+\frac1{n(n+2)}\right)^{n+1}=1+\sum\limits_{k=1}^{n+1}\binom{n+1}{k}\left(\frac1{n(n+2)}\right)^k>1+\frac{n+1}{n(n+2)}>1+\frac{1}{n+1}$

Answer 3

Para $n>1$ aplicamos el Desigualdad AM-GM a los números $(1-1/n)$ tomado $n$ tiempos y $1$ . Entonces $$\underbrace{\frac{n(1-\frac{1}{n})+1}{n+1}}_{\text{Arithmetic mean}}> \underbrace{\left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\cdot 1\right)^{1/(n+1)}}_{\text{Geometric mean}}$$ es decir $$\frac{n^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}> \frac{(n-1)^{n}}{n^{n}},$$ lo que equivale a $$f(n-1)=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n}> \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=f(n)$$ y podemos concluir que $n\to f(n)$ es estrictamente decreciente.

Answer 4

$$f(n)=\exp{\left((n+1)\ln{\left(1+\frac1n\right)}\right)}$$ con $f(n)>0$ . Por lo tanto, $$f'(n)=f(n)\left(\ln{\left(1+\frac1n\right)-\frac1n}\right)$$ Ahora, utilice la desigualdad $\ln(1+x)<x$ para $x>-1$ con $x=\frac1n$ para concluir que $f'(n)<0$ .

Answer 5

Toma la fracción $$ \frac{f(n)}{f(n-1)}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}\bigg/\left(\frac{n}{n-1}\right)^n=\left(\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}\right)^n\frac{n+1}{n}=\frac1{\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n}\frac{n+1}{n}. $$ Utilizando la inducción, demuestre que para $n\ge2$ y $x>-1$ , $x\ne0$ (si $x=0$ entonces habría una igualdad trivial) $(1+x)^n>1+nx$ . Para $n=2$ tenemos $(1+x)^2=1+2x+x^2>1+2x$ . Para $n+1$ : $(1+x)^{n+1}=(1+x)^n(1+x)>(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2>1+(n+1)x$ .

Utilizando esta desigualdad se puede concluir que $$ \left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n>1+n\frac1{n^2-1}=\frac{n^2+n-1}{n^2-1}, $$ y $$ \frac{f(n)}{f(n-1)}=\frac1{\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n}\frac{n+1}{n}<\frac{n^2-1}{n^2+n-1}\frac{n+1}{n}=\frac{n^3+n^2-n-1}{n^3+n^2-n}<1. $$ Por lo tanto, $f(n)$ está disminuyendo en $n$ .