Isometría lineal

Question

Demuestre que si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita con un producto punto $\langle-,-\rangle$ y $f: V \rightarrow V$ lineal con $\forall v,w \in V: \langle v,w \rangle=0 \Rightarrow \langle f(v),f(w) \rangle=0$ entonces $\exists C \in \mathbb{R}$ tal que $(C\cdot f)$ es una isometría lineal.

Notas y reflexiones: $g$ es una isometría lineal significa $\forall v \in V: \lVert g(v)\rVert=v$

Visualmente el teorema tiene sentido, si los vectores ortogonales permanecen ortogonales bajo $f$ entonces los ángulos permanecen, por lo que el vector original sólo cambia su longitud. (Si lo he entendido bien)

Answer 1

Dejemos que $x,y\in V$ con $|x| = |y|=1$ . Afirmo que $|f(x)| = |f(y)|$ .

Para ver esto, observe que $0 = |x|^2 - |y|^2 = \langle x+y,x-y\rangle$ .

Por supuesto, esto es igual a $\langle f(x+y), f(x-y)\rangle = |f(x)|^2 - |f(y)|^2$ .

Así, si definimos $C = 1/|f(x)|$ con $|x| = 1$ entonces $C$ no depende de la elección de $x$ . Yo reclamo esto $C$ resuelve el problema.

Por lo tanto, dejemos que $z\in V$ sea arbitraria. Quiero demostrar que $|z| = |f(z)|$ .

Si $z = 0$ entonces $Cf(z) = 0$ Así que $|z| = |f(z)|$ .

Si $z\neq 0$ entonces $z/|z|$ es un vector unitario, por lo que $1 = |Cf(z/|z|)|$ . Multiplicando ambos lados por $|z|$ , w obtener $|z| = |Cf(z)|$ , mostrando $Cf$ es una isometría.