Probabilidades de inclusión de segundo orden en el muestreo con sustitución

Question

Estoy leyendo el libro "Model Assisted Survey Sampling" de Särndal et al. En el capítulo 2, hay una sección sobre el muestreo con reemplazo. Voy a poner esto en contexto: Tenemos $m$ sorteos independientes, de manera que, en cada sorteo, cada uno de los $N$ elementos de la población tiene la misma probabilidad de selección : $\frac{1}{N}$

Una vez extraído, se sustituye un elemento en la población de manera que todos $N$ elementos participan en cada sorteo. Obviamente, la probabilidad de que un elemento determinado no sea sorteado viene dada por: $(1 - \frac{1}{N})^m$

Así, la probabilidad de inclusión de primer orden es: $\pi_k = 1 - (1- \frac{1}{N})^m$

Ahora, mi pregunta particular es por qué es la probabilidad de inclusión de segundo orden:

$\pi_{kl} = 1 - 2(1- \frac{1}{N})^m + (1- \frac{2}{N})^m$

Realmente no entiendo por qué. ¿Se supone que esto significa que $2(1- \frac{1}{N})^m - (1- \frac{2}{N})^m$ es la probabilidad de que ni la observación $k$ ni $l$ se dibujan en el $m$ ¿Dibujos?

Por favor, si alguien tiene una explicación intuitiva, estaría muy agradecido.

Answer 1

La probabilidad de inclusión de segundo orden se define como la probabilidad de que tanto el elemento i como el j (con j $ \ne i$ ) están en la muestra.

Mediante el principio de inclusión-exclusión https://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion%E2%80%93exclusion_principle ,

P(i y j ambos en la muestra) = P(i en la muestra) + P(j en la muestra) - (1 - P(ni i ni j en la muestra))

Ya sabes que P(i en la muestra) = P(j en la muestra) = $1 - (1- \frac{1}{N})^m$

Tenemos que P(ni i ni j en la muestra) = $(1- \frac{2}{N})^m$

Si lo ponemos todo junto resulta que P(i y j ambos en la muestra) = $1 - 2(1- \frac{1}{N})^m + (1- \frac{2}{N})^m$