Desplazamiento erróneo de potencias que resulta con una identidad de serie trigonométrica correcta.

Question

Demostrar que $$ \\ \sum_{r=0}^n \left( \frac{ (-1)^r {n \choose r} } {n+r+1} ( \sin^{2(n+r+1)}x + \cos^{2(n+r+1)}x )\right) = \sum_{r=0}^n \frac{ (-1)^r {n \choose r} } {n+r+1} $$ para todos los valores de $x$ .

Me encontré con este chiste que decía que podías sacar las potencias de los paréntesis y todo salía bien.

$$ \require{cancel} \sum_{r=0}^n \left( \frac{ (-1)^r {n \choose r} } {n+r+1} ( \sin^{2(\textbf{n+r+1})}x + \cos^{2(\textbf{n+r+1})}x )\right) \\ = \sum_{r=0}^n \left( \frac{ (-1)^r {n \choose r} } {n+r+1} (\cancelto1{\sin^2x + \cos^2x })^{\textbf{n+r+1}}\right) \\ = \sum_{r=0}^n \frac{ (-1)^r {n \choose r} } {n+r+1} $$

Pero, ¿cómo se puede demostrar esto? Me he dado cuenta de que este valor también es igual a $B(n+1,n+1)$ que puede o no ser relevante.

Answer 1

Probemos $$ \\ \sum_{r=0}^n \left( \frac{ (-1)^r {n \choose r} } {n+r+1} ( \sin^{2(n+r+1)}x + \cos^{2(n+r+1)}x )\right) = \sum_{r=0}^n \frac{ (-1)^r {n \choose r} } {n+r+1} \tag1 $$ para todos los valores de $x$ .

Diferenciando ambos lados con respecto a $x$ en el lado derecho se obtiene $0$ en el lado izquierdo se obtiene $$ \sum_{r=0}^n (-1)^r {n \choose r} \left( 2\cos x\cdot\sin^{2(n+r+1)-1}x - 2\sin x\cdot\cos^{2(n+r+1)-1}x \right) $$ $$ 2\cos x\cdot\sin^{2n+1}x \sum_{r=0}^n (-1)^r {n \choose r} \sin^{2r}x - 2\sin x\cdot\cos^{2n+1}x \sum_{r=0}^n (-1)^r {n \choose r} \cos^{2r}x $$ $$ 2\cos x\cdot\sin^{2n+1}x\cdot \left(1-\sin^2x \right)^n-2\sin x\cdot\cos^{2n+1}x\cdot \left(1-\cos^2x \right)^n=0. $$ Dado que ambos lados de $(1)$ están claramente de acuerdo en $x=0$ entonces $(1)$ es verdadera para todos los valores de $x$ .