La acotación de una integral

Question

¿Existe una constante $C$ que es independiente de los números reales $a,b,N$ , de tal manera que

$$\left| {\int_{-N}^N \dfrac{e^{i(ax^2+bx)}-1}{x}dx} \right| \le C?$$

Answer 1

Estas integrales sí están uniformemente acotadas. Como el único efecto de cambiar los signos de $a,b,N$ en la integral es un cambio de signo y/o una conjugación compleja, podemos restringir a $a,b,N\gt0$ . Configurar $M=Nb$ y $\alpha=a/b^2$ tenemos $$ \int_{-N}^N\left(e^{i(ax^2+bx)}-1\right)\frac{dx}x=\int_0^M\left(e^{i(\alpha x^2+x)}-e^{i(\alpha x^2-x)}\right)\frac{dx}x. $$ Sin embargo, el integrando puede escribirse como $2ie^{i\alpha x^2}\frac{\sin x}x$ por lo que está limitado por $2$ en valor absoluto. Por lo tanto, la fijación de cualquier constante $K\gt0$ la integral está limitada por $$ \begin{align} 2K+\int_K^{K\vee M}e^{i(\alpha x^2+x)}\frac{dx}x-\int_K^{K\vee M}e^{i(\alpha x^2-x)}\frac{dx}x.&&{\rm(1)} \end{align} $$ Demostraré que está acotado con la ayuda de un lema.

Lema: _( El lema de van der Corput )_ Si $f\colon[A,B]\to\mathbb{R}$ es convexo con $\lvert f^\prime(x)\rvert\ge\lambda\gt0$ y $g\colon[A,B]\to\mathbb{C}$ es diferenciable entonces, $$\left\lvert\int_A^Be^{if(x)}g(x)dx\right\rvert\le\frac2\lambda\left(\lvert g(B)\rvert+\int_A^B\lvert g^\prime(x)\rvert dx\right)$$

Como sólo me interesan los intervalos $[A,B]\subset[K,\infty)$ con $g(x)=1/x$ el límite del lema puede escribirse como $$ \begin{align} \left\lvert\int_A^Be^{if(x)}\frac{dx}x\right\rvert\le\frac2{\lambda K}&&{\rm(2)} \end{align} $$ Tomando $f(x)=\alpha x^2+x$ Esto demuestra que la primera integral de (1) está limitada por $2/K$ . Para la segunda integral, toma $f(x)=\alpha x^2-x$ , arreglar cualquier $0\lt\epsilon\lt1/2$ y primero se mira el valor de la integral con el rango de integración restringido a $[0,\epsilon/\alpha]$ . En este rango, tenemos $f^\prime(x)\le f^\prime(\epsilon/\alpha)=-(1-2\epsilon)$ . Así, por la desigualdad (2), esta parte de la integral está limitada por $2K^{-1}(1-2\epsilon)^{-1}$ .

A continuación, para cualquier $\gamma\gt1/2$ el valor de la última integral de (1), restringido al rango $[\epsilon/\alpha,\gamma/\alpha]$ está limitada por $$ \int_{\epsilon/\alpha}^{\gamma/\alpha}\frac{dx}{x}=\log(\gamma/\epsilon). $$ Por último, observe la última integral de (1) restringida al rango $[\gamma/\alpha,\infty)$ . Como $f^\prime(x)\ge f^\prime(\gamma/\alpha)=(2\gamma-1)$ en este rango, la desigualdad (2) muestra que esta parte de la integral está limitada por $2K^{-1}(2\gamma-1)^{-1}$ .

Si se juntan estos datos, se observa que el conjunto de integrales de la pregunta está acotado superiormente por una constante. El límite superior obtenido aquí es $$ 2K+\frac2K+\frac2{K(1-2\epsilon)}+\frac2{K(2\gamma-1)}+\log(\gamma/\epsilon) $$ para constantes positivas arbitrarias $K,\epsilon,\gamma$ con $\epsilon\lt1/2\lt\gamma$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ {\int_{-N}^N ({e^{i(ax^2+bx)}-1)\frac{1}{x}dx} }=2i\int_{0}^N e^{iax^2}\frac{\sin bx}{x}dx $$ Como supongo que ya ha demostrado.

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Tal vez, podamos enfocar de la siguiente manera

$$I=2i\int_{0}^N e^{iax^2}\frac{\sin bx}{x}dx=-2\int_{0}^{N}\sin ax^2 \frac{\sin bx}{x}dx+2i\int_{0}^{N}\cos ax^2\frac{\sin bx}{x}dx$$ Por lo tanto, $$\left|I\right|\le 2\sqrt{I_1^2+I_2^2}$$ donde $$I_1=\int_{0}^{N}\sin ax^2 \frac{\sin bx}{x}dx,\ I_2=\int_{0}^{N}\cos ax^2 \frac{\sin bx}{x}dx$$

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Ahora, si podemos demostrar que ambos $I_1,\ I_2$ están limitados por alguna constante independiente de $a,b,N$ entonces $I $ también está acotado.

Answer 3

Podemos utilizar el teorema para $a \le b$

$ |\int _a^b f(x)dx|\le \int_a^b|f(x)|dx$

$\int _{-N}^N|(e^{i(ax^2+bx)}-1)\frac1x|dx\le \int _{-N}^N|(e^{i(ax^2)}-1)\frac1x|dx\ $ puedes jugar con la integral para hacerla más intergreable