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Grupo no abeliano de orden $p^n$

Construir un grupo no abeliano $G$ de orden $p^n$ (de hecho n>2) tal que $G$ no es producto directo de ninguno de sus dos subgrupos.

Creo que tenemos que utilizar el producto semidirecto y el hecho de que G tiene al menos un subgrupo normal de cada orden posible. $Z(G)$ de forma no trivial.

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Kenny Lau Puntos 460

Sabemos que $|\operatorname{Aut}(C_{p^{n-1}})| = \varphi(p^{n-1}) = p^{n-2} (p-1)$ [aquí es donde usamos $n>2]$ por lo que por el teorema de Cauchy existe un elemento de orden $p$ que genera $C_p$ que da un producto semidirecto $C_{p^{n-1}} \rtimes C_p$ de orden $p^n$ .

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