Supongo que la muestra es supuestamente independiente. Denoto el contenido de las 16 botellas muestreadas por $X_1,X_2,\ldots,X_{16}$ .
En cuanto a su primera pregunta: La varianza de la media muestral es $$\operatorname{Var}(\bar{X})=\operatorname{Var}\left(\frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}{X_i}\right)=\frac{1}{16^2}\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{16} {X_i}\right)=\frac{1}{16^2}\sum_{i=1}^{16}\operatorname{Var}(X_i)=\frac{1}{16^2} 16\cdot 0.02^2 = \frac{0.02^2}{16},$$ donde hemos utilizado la independencia y el normas para la varianza .
El mismo razonamiento se aplica a (b). Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior (basta con sustituir 16 por $n$ ) se puede demostrar que la varianza de la media muestral es igual $\frac{\sigma^2}{n}$ y por lo tanto la desviación estándar es $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Obsérvese que la varianza de la media muestral no es igual a la varianza de la distribución subyacente (excepto si $n=1$ o la varianza de la distribución subyacente es $0$ ).
Por otro lado, el valor esperado es el mismo, lo que demuestra el siguiente cálculo: $$\mathbb{E}(\bar{X})=\mathbb{E}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{X_i}\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}\left(X_i\right)=\frac{1}{n}n\cdot0.99=0.99,$$ donde hemos utilizado el linealidad de la expectativa .
Así es como tu profesor obtuvo el valor esperado y la desviación estándar para la media de la muestra.
Para pensar en esto de forma intuitiva, imaginemos que recogemos una muestra muy pequeña (así $n$ es pequeño). Cada observación tiene mucho peso en la media de la muestra (especialmente las observaciones inusualmente pequeñas o grandes). Si extraemos repetidamente muestras pequeñas, nuestra media muestral variará mucho. Si tenemos una muestra muy grande ( $n$ grande), entonces vamos a observar todo tipo de observaciones (la mayoría de ellas en un rango que tiene mucha masa de probabilidad) y unas pocas observaciones extremas no moverán mucho la media de la muestra. Si extraemos muestras grandes y repetidas, nuestra media muestral no variará mucho. Así que, intuitivamente, supondremos que la varianza disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra (de hecho $n$ aparece en el denominador).
