Demostrar ciertas propiedades de la función $d_p(a,b)=p^{-v_p(a-b)}$

Question

Estuve enfermo y no pude asistir a algunas clases de teoría de números. Ahora, estoy luchando por demostrar un teorema que se presentó durante las clases que no añadí y que el profesor dejó intencionadamente como ejercicio:

definir la función $d_p:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $d_p(a,b)=p^{-v_p(a-b)}$ , donde $v_p$ es el $p$ -exponente de $a - b$ . Demuestra que las siguientes propiedades son verdaderas:

• $d_p(a,b)=0\Leftrightarrow a-b=0$
• $d_p(a,b)\ge 0$
• $d_p(a,c)\le d_p(a,b)+d_p(b,c)$
• $d_p(a,b)=d_p(b,a)$

Siento decir que lo único que se me ocurrió fue escribir números $a$ y $b$ de la siguiente forma: $a=p^{\alpha}\frac{m}{n}$ y $b=p^{\beta}\frac{z}{x}$ . Entonces, supongo, tenemos:

$$ a-b=p^{\alpha}\left(\frac{m}{n}-p^{\beta-\alpha}\frac{z}{x}\right)$$

pero no sé si sirve para demostrar alguna de las cuatro propiedades.

No busco una solución completa, sé que no queréis hacer todo el trabajo por mí, pero ¿podría alguien darme al menos alguna pista?

Answer 1

Permítanme abordar las propiedades en orden. Tenga en cuenta que también debe tener en cuenta que está tomando la convención de que $p^{-\infty} = 0$ ya que $v_p(0) = \infty$ (si ha dejado $v_p(0)$ sin definir, tendrá que definir por separado $d(a,a) = 0$ para cualquier $a$ ). Aquí hay algunas preguntas/sugerencias principales que deberían ayudarte. A continuación, diré " $p$ divide $n$ $m$ veces" para significar que $n = p^m n'$ , donde $(n',p) = 1$ En otras palabras, estoy diciendo que $v_p(n) = m$ .

1. Esencialmente quiere demostrar que $v_p(x) = \infty$ si y sólo si $x = 0$ . Si $n$ es un número no nulo, puede $p$ dividir $n$ ¿Infinitamente muchas veces?
2. Puede $p^x$ sea negativo para cualquier valor real de $x$ ? ¿Y si " $x = -\infty$ "?
3. Yo recomendaría probar algo más fuerte: que $d_p(a,c)\leq \max(d_p(a,b),d_p(b,c))$ . Traduzca esto en una declaración sobre el $v_p$ 's: debe encontrar que quiere mostrar $v_p(a-c)\geq\min(v_p(a-b),v_p(b-c))$ . Ahora, establece $a - b = x$ , $b - c = y$ . Entonces esta afirmación es equivalente a $$v_p(x + y)\geq\min(v_p(x), v_p(y)).$$ Desde $x$ y $y$ son números enteros, se puede escribir $x = p^{v_p(x)} x'$ , $y = p^{v_p(y)} y'$ para algunos $x',y'\in\Bbb Z$ relativamente primo a $p$ . Ahora, considera cuántas veces $p$ pueden dividir su suma. Primero supongamos que $v_p(x)\geq v_p(y)$ sin pérdida de generalidad, y luego utilizar su pensamiento anterior.
4. Usted sabe que $v_p(n)$ es el número de veces que $p$ divide $n$ . ¿Cuántas veces $p$ dividir $-n$ ?