Intuición detrás de la prueba del paso clave en la segunda desigualdad de Minkowski sobre mínimos sucesivos

Question

Hace poco supe de esta nota en el que el profesor M. Henk presenta una prueba de la segunda desigualdad de Minkowski sobre los mínimos sucesivos que se basa (supuestamente) en ideas de la prueba original de Minkowski. Permítanme recordarles que, para un cuerpo convexo con simetría central $\mathcal{K} \subseteq \mathbb{R}^{n}$ y un entramado $\Lambda \subseteq \mathbb{R}^{n}$ La mencionada desigualdad afirma que

$$(\lambda_{1} \cdots \lambda_{n}) \mathrm{vol}(\mathcal{K}) \leq 2^{n}\mathrm{det}(\Lambda)$$

donde $\lambda_{i}$ es el $i$ -el mínimo sucesivo del cuerpo $\mathcal{K}$ con respecto a la red $\Lambda$ .

Al principio de la prueba, el profesor Henk hace $K_{i} := \frac{\lambda_{i}}{2}\mathcal{K}$ por cada $i \in \{1, \ldots,n \}$ y recoge $z^{1}, \ldots, z^{n} \in \mathbb{Z}^{n}$ de tal manera que $z^{1} \in \lambda_{1}\mathcal{K}, \ldots, z^{n} \in \lambda_{n}\mathcal{K}$ y el conjunto $\{z^{1}, \ldots, z^{n}\}$ es linealmente independiente. Además, señala que el $z^{i}$ se puede elegir de manera que se satisfaga $$\mathbf{span}(z^{1}, \ldots, z^{i})=\mathbf{span}(e_{1}, \ldots, e_{i})=:L_{i}$$ donde $\{e_{1}, \ldots, e_{n}\}$ es la base estándar de $\mathbb{R}^{n}$ . Entonces, después de definir $M_{q}^{n}$ como el conjunto $\{u \in \mathbb{Z}^{n} \colon |u_{i}|\leq q, \, 1\leq i \leq n\}$ y $M_{q}^{i}$ como la intersección $M_{q}^{n} \cap L_{i}$ se establece sin esfuerzo que $$\mathrm{vol}(M_{q}^{n}+K_{n}) \leq (2q+\gamma)^{n}$$ (para alguna constante positiva $\gamma$ ) y que $$\mathrm{vol}(M_{q}^{n}+K_{1}) =(2q+1)^{n}\mathrm{vol}(K_{1}).$$

A continuación, viene la importante observación según la cual la desigualdad deseada se seguiría fácilmente de lo que se acaba de demostrar y de las desigualdades $$\mathrm{vol}(M_{q}^{n}+K_{i+1}) \geq \left(\frac{\lambda_{i+1}}{\lambda_{i}}\right)^{n-i} \mathrm{vol}(M_{q}^{n}+K_{i}) \qquad \qquad ... (*)$$

En mi opinión, es la comprobación de las desigualdades en $(*)$ uno de los pasos clave en la prueba del profesor Henk de la segunda desigualdad de Minkowski sobre los mínimos sucesivos. Desgraciadamente, aunque sea posible validar línea por línea la prueba que aporta para ellos, debo confesar que no me queda claro cuál es la idea global que hay detrás... En el caso de que lo haya entendido de cabo a rabo una vez, ¿sería tan amable de motivar y/o explicar a continuación, en lenguaje llano, la idea (o ideas) subyacente a la prueba de Henk de las desigualdades en $(*)$ ?

Por favor, permítanme que les agradezca de antemano sus perspicaces respuestas, indicaciones sobre la bibliografía, etc.

Answer 1

Por lo que veo, hay dos ideas detrás $(\star)$ :

En primer lugar, se argumenta que basta con considerar los volúmenes para $M_q^i$ en lugar de $M_q^n$ . Este es el caso, porque todo está definido de tal manera que $K_j$ no se solapará con ninguna traducción de un $(\mathbb{Z}^n\cap\langle e_{i+1},...,e_n\rangle)$ -vector, si $j\geq i$ .

Así, se puede pensar en el embalaje $M_q^n+K_{i+1}$ como capas interiormente disjuntas de $M_q^i+K_{i+1}$ apilados unos sobre otros, y lo mismo para $M_q^n+K_{i}$ donde el número de capas es en ambos casos $(2q+1)^{n-i}$ . Por lo tanto, basta con considerar esos $i$ -capas dimensionales.

A continuación, se utiliza esencialmente el hecho de que $K_{i+1}$ es igual a $K_i$ escalado por $\lambda_{i+1}/\lambda_{i}$ . Pero en lugar de escalar todas las coordenadas "al mismo tiempo", podemos sacarle sólo la primera $i$ Coloque el cuerpo parcialmente escalado en el $M_q^i$ -puntos y luego escalar el resto $n-i$ coordenadas. Esto no afectará al conjunto de empaquetado $M^i_q$ ya que se encuentra en el primer $i$ coordenadas. Este "escalado después del empaquetado" hace que el factor $(\frac{\lambda_{i+1}}{\lambda_i})^{n-i}$ .

("Empaquetar" no es probablemente la mejor expresión en este caso, ya que las traducciones se solapan...)

Para hacerlo muy corto y sencillo, el plan (aproximado) para probar $(\star)$ es:

Restringir a $i$ -capas dimensionales del embalaje y luego escalar $K_i$ hasta $K_{i+1}$ de una "manera cuidadosa".

Espero que esto ayude un poco.