Conjunto infinito en topología cerrada finita

Question

Tengo problemas para entender cierta terminología. Así que la pregunta me pide que determine si una topología cerrada finita sobre un conjunto infinito es una $T_1$ espacio. Ahora, antes de entrar en eso, tengo problemas para diseccionar el enunciado de una topología cerrada finita sobre un conjunto infinito.

Para empezar, la definición de una topología cerrada finita sobre un conjunto $X$ son los subconjuntos cerrados de $X$ son $X$ y todos los subconjuntos finitos de $X$ es decir, los conjuntos abiertos son el conjunto vacío y todos los subconjuntos de $X$ que tienen complementos finitos.

Este es mi problema. Si ésta es la definición de la topología de complemento finito, ¿en qué espacio topológico están los conjuntos abiertos? Así que un conjunto cerrado en un espacio topológico se define como cerrado si su complemento en $X$ es abierto en la topología que se le ha puesto, pero si es así, ¿cómo son estos conjuntos abiertos incluso en la topología del complemento finito si son abiertos?

También estaba tratando de imaginar cómo sería la topología del complemento finito en un conjunto infinito y se me ocurrió esto:

$$X = \{X,\emptyset, \{a_1\},\,\{a_2\},\,\dots\{a_i\},\,\dots\{a_1,a_2\},\dots,\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\}$$ y los conjuntos seguirían aumentando.

Answer 1

La "topología cerrada finita" describe los conjuntos cerrados. Lo que da una definición exacta de los conjuntos abiertos, son los complementos de los conjuntos cerrados. Así que, efectivamente, se trata de la topología cofinita (o topología de complemento finito).

Un subconjunto $U$ es abierto si y sólo si $U=\varnothing$ o $X\setminus U$ es finito.

Imaginar la topología completa es un poco complicado, ya que los conjuntos infinitos pueden ser muy grandes, y por lo tanto tienen muchos conjuntos finitos. Así que es mejor pensar en esto en términos de definiciones. Hay una definición cuando un conjunto es abierto, y cuando es cerrado. Ahora comprueba si estas definiciones cumplen el requisito de ser $T_1$ .

Y para ello, permítame recordarle que $X$ es un $T_1$ espacio si y sólo si cada singleton es cerrado.