¿Existe una función polinómica $P(x)$ con coeficientes reales que tiene un número infinito de raíces? ¿Y si $P(x)$ es el polinomio nulo, $P(x)=0$ para todo x?
Respuestas
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Tim Almond
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Como se ha comentado anteriormente, en un campo un polinomio no constante de grado $n$ tiene como máximo $n$ raíces distintas. Los cuaterniones, que no son un campo, proporcionan lo que se busca. Por ejemplo, hay infinitas raíces cuadradas de $-1$ . Si $z=bi+cj+dk$ es un cuaternión con $b,c,d$ real para que $b^2+c^2+d^2=1$ entonces $z^2+1=0$ .
Cfr
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¡Un polinomio no nulo también puede tener todo su conjunto de bases como raíces!
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Sólo si tiene un número infinito de términos.... o ninguno, $P(x) := 0$
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Según el Teorema Fundamental del Álgebra, cualquier función polinómica de grado $n$ puede tener como máximo $n$ raíces. es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_álgebra
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Como la mitad de mi comentario ha llegado a la pregunta, sólo añadiré un poco para decir que tampoco creo que $P(x) := 0$ o $P(x) := k$ una constante se califican como polinomios en muchos sentidos. Es uno de esos casos en los que los contaremos como polinomios si es conveniente, y luego los descalificaremos cuando compliquen algún proceso.
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@Joffan: Esto no suele ser útil. Es como decir que el vector cero no es un vector.
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@darijgrinberg Similar en algunos aspectos; también lo obviaremos cuando sea conveniente, asumiendo tranquilamente que los vectores tienen todos dirección. Pero una función constante tiene muy poco de "polinómica", mientras que incluso un vector nulo tiene el marco de la vectorialidad.
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Si $c$ es una raíz de $P(x)$ entonces $P(x)=(x-c)Q(x)$ para algún polinomio $Q(x)$ de menor grado. El grado no puede seguir siendo más bajo para siempre. Véase mi respuesta más abajo. Creo que esto simplifica la cuestión, ya que a veces no me gustan las respuestas demasiado largas.
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@Joffan Los polinomios constantes se consideran siempre polinomios.
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Aquí hay un poco de trivia: Euler pensó en $\sin x$ como un "polinomio" con un número infinito de raíces a adivinar esta identidad correcta .
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Este es un ejemplo de escenario en el que la respuesta es no trivial "sí".
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@Spark: Este hecho no es el teorema fundamental del álgebra (que dice que un polinomio no constante sobre números complejos tiene una raíz compleja). Como han dicho otros en las respuestas, se trata del teorema del factor, que es mucho más fácil de demostrar que el teorema fundamental.
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Relacionado con esto: math.stackexchange.com/questions/1689061