¿Existe un polinomio que tenga infinitas raíces?

Question

¿Existe una función polinómica $P(x)$ con coeficientes reales que tiene un número infinito de raíces? ¿Y si $P(x)$ es el polinomio nulo, $P(x)=0$ para todo x?

Answer 1

Sugerencia $\ $ Si $\,0\ne f\in \Bbb C[x]\,$ tiene raíces distintas $\,a_1,\ldots\,a_n\,$ entonces $\,f(x) = (x\!-\!a_1)\cdots (x\!-\!a_n)\, g(x)\,$ para $\,0\ne g\in\Bbb C[x],\,$ por aplicando inductivamente el Teorema del Factor. La comparación de los grados en ambos lados muestra que $\,f\,$ tiene como máximo $\,\deg f\,$ raíces.

Nota $ $ La prueba anterior funciona para polinomios sobre cualquier campo (o cualquier dominio integral, es decir, un anillo conmutativo donde $\,ab=0\,\Rightarrow\,a=0\,$ o $\,b=0).\,$ Puede fallar en anillos de coeficientes más generales, por ejemplo $\rm\,x^2\!-\!1\,$ tiene $\,4\,$ raíces $\,\pm1,\,\pm3\pmod 8.\,$ Y los polinomios no nulos pueden tener infinitas raíces sobre campos no conmutativos, por ejemplo $\,x^2+1\,$ sobre los cuaterniones.

Answer 2

Si $c$ es una raíz de $P(x)$ entonces $P(x)=(x-c)Q(x)$ para algún polinomio $Q(x)$ de menor grado. El grado no puede seguir bajando eternamente.

[Esto supone el grado de $P(x)$ es al menos $1$ .]

Answer 3

El único polinomio de este tipo es idéntico a cero.

Answer 4

Según el teorema fundamental del álgebra de Gauss, un polinomio tiene un número de raíces igual a su grado, donde las raíces se cuentan con multiplicidades. Así que para tener infinitas raíces debemos considerar un polinomio de grado asintóticamente infinito. Consideremos una recurrencia de tres términos, $$ P_{n+1}(z) = (z^3-z)P_{n}(z)-P_{n-1}(z).$$ Con las condiciones iniciales $$P_0(z) = 1 $$ y $$P_1(z) = z^3-z+1.$$ Como $$ \lim_{n-> \infty} P_{n+1}(z) $$ tendrá infinitas raíces. Nótese que todos los coeficientes de este polinomio son reales. Asintóticamente las raíces caen en la proyección del polinomio $$ z^3-z = r $$ en el plano complejo. Aquí $$r \in (-2i, 2i)$$ y $z$ es cualquier número complejo. Podemos observar esto en el caso del espectro de las matrices de Toeplitz tridiagonales k.

Answer 5

Dejemos que $f(x)$ sea un polinomio no constante y $\deg(f) = n \geq 1$ . Si $f(x)$ tiene infinitas raíces diferentes, entonces $f(x)$ tiene $n+1$ diferentes raíces $a_1, \cdots, a_n, a_{n+1}$ . Desde $f(a_1) = 0$ , $f(x) = (x-a_1) g_1(x)$ para un polinomio $g_1(x)$ cuyo grado es $n-1$ . Desde $f(a_2) = 0$ y $a_2 \neq a_1$ , $g_1(a_2) = 0$ . Así que, $g_1(x) = (x-a_2) g_2(x)$ . Así que, $f(x) = (x-a_1)(x-a_2)g_2(x)$ . Si seguimos así, finalmente tenemos $f(x) = (x-a_1) \cdots (x-a_n) g_n(x)$ . Desde $\deg(f) = n$ , $\deg(g_n) = 0$ . Esto significa que $g_n(x)$ es una constante no nula $b$ . Así que, $f(x) = b (x-a_1) \cdots (x-a_n)$ . Desde $a_{n+1} \neq a_i$ para $i \in \{1, \cdots, n\}$ , $f(a_{n+1}) \neq 0$ . Esto es una contradicción.