¿Existe una función polinómica $P(x)$ con coeficientes reales que tenga un número infinito de raíces? ¿Qué pasa si $P(x)$ es el polinomio nulo, $P(x)=0$ para todo x?
No funciona si tenemos divisores cero.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?El único polinomio con infinitas raíces es $$P(x)=0.$$ Esto se puede demostrar sin recurrir al teorema fundamental del álgebra. En particular, vamos a demostrar lo siguiente:
Un polinomio de grado $n\geq 1$ tiene a lo sumo $n$ raíces.
Lo demostraremos por inducción. En el caso lineal, obviamente tenemos que $P(x)=mx+b$ tiene exactamente una raíz en $\frac{-b}m$. Luego, supongamos que $P(x)$ es un polinomio de grado $n$. Si no tiene raíces, satisface la hipótesis trivialmente. De lo contrario, sea $r$ una raíz. Es posible, usando la división larga de polinomios, determinar que hay un polinomio de grado $n-1$ $P_2$ tal que $$P_2(x)\cdot (x-r)=P(x).$$ Puedes comprobar que esta condición es en realidad equivalente a decir que $r$ es una raíz, ya que, al hacer la división larga de polinomios, descubrirás que el resto es exactamente $P(r)$.
Sin embargo, por la ley del producto nulo, esto significa que $P$ tiene una raíz siempre que $x-r$ o $P_2(x)$ sea $0$. Por la hipótesis inductiva, $P_2(x)$ es $0$ para a lo sumo $(n-1)$ valores distintos de $x$ y claramente $x-r$ es cero solo en $r$. Así, $P(x)$ puede tener a lo sumo $n$ ceros. Esto completa la demostración.
Observa que esto, a diferencia del teorema fundamental del álgebra, es válido en cualquier campo - es decir, solo necesitamos que la multiplicación, la suma y sus inversos funcionen adecuadamente.
@Matthew Correcto, por eso esta demostración solo funciona para los campos, que necesariamente no tienen divisores de cero (ya que si $ab=0$ para un $b$ no nulo, entonces $a=abb^{-1}=0b^{-1}=0$). No se extiende al caso de los anillos donde, como señalas, no es necesariamente verdadero.
Esto se cumple en cualquier dominio integral. $\:$ Uno podría ver eso abstractamente incrustando en el campo de fracciones, pero es más directo simplemente observar que tu prueba también es válida para ellos. $\;\;\;\;$
Henrik
Puntos
271
Matthew Levy
Puntos
740
No, el teorema fundamental del álgebra nos dice que hay como máximo $n$ raíces en el plano complejo $\Bbb C$ para $\deg(f)=n$. Dado que $\Bbb R$ es un subconjunto de $\Bbb C$, esto significa que $f$ tiene como máximo $n$ raíces reales. Por lo general, se descarta el caso $f\equiv 0$ cuando se habla de tales cosas.
Si deseas pensar en funciones analíticas como polinomios de "grado infinito", entonces
$$\sin z:=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$$
tiene infinitas raíces en la recta real, y $\sin z \not \equiv 0$.
De hecho, en cualquier dominio integral $R$, el número de factores de $f\in R[x]$ es a lo sumo $\deg(f)$. $0$ es solo un factor del polinomio nulo, así que excluyámoslo.
No, el teorema fundamental del álgebra dice algo bastante diferente. Lo que se aplica aquí es el teorema de Bezout, en su lugar (que, junto con el teorema fundamental del álgebra, implica que un polinomio complejo se descompone en términos lineales; por cierto, es mucho más elemental, por ejemplo, me habían contado una prueba de esto en el aula de la escuela secundaria, en marcado contraste con el teorema fundamental del álgebra, cuya prueba adecuada no he visto hasta el segundo año de análisis de complejos y cursos de variedades diferenciables, creo).
MKM
Puntos
21
Tim Raczkowski
Puntos
14043
- Ver respuestas anteriores
- Ver más respuestas
0 votos
Solo si tiene un número infinito de términos.... o ninguno, $P(x) := 0$
8 votos
Según el Teorema Fundamental del Álgebra, cualquier función polinómica de grado $n$ puede tener como máximo $n$ raíces. en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra
2 votos
Dado que la mitad de mi comentario ahora está en la pregunta, simplemente agregaré un poco para decir que no creo que ni $P(x) := 0$ ni $P(x) := k$ una constante califiquen como polinomios en muchos sentidos. Es uno de esos casos en los que los consideraremos como polinomios si es conveniente, luego los descalificaremos cuando complican algún proceso.
26 votos
@Joffan: Esto rara vez es útil. Es como decir que el vector cero no es un vector.
0 votos
@darijgrinberg Similar in some ways; we'll disregard that too when it is convenient, quietly assuming that vectors all have direction. But a constant function has very little "polynomialness" about it, whereas even a zero vector has the framing of vectorhood.
0 votos
Si $c$ es una raíz de $P(x)$, entonces $P(x)=(x-c)Q(x)$ para algún polinomio $Q(x)$ de grado inferior. El grado no puede seguir disminuyendo para siempre. Ver mi respuesta a continuación. Creo que esto simplifica el asunto tanto como realmente es; a veces tiendo a no gustarme respuestas excesivamente largas.
8 votos
@Joffan Los polinomios constantes siempre se consideran como polinomios.
11 votos
Aquí hay un dato curioso: Euler consideraba $\sin x$ como un "polinomio" con un número infinito de raíces para adivinar esta identidad correcta.
0 votos
Esto es un ejemplo de un ajuste en el que la respuesta es "sí" de manera no trivial.
0 votos
@Spark: Este hecho no es el teorema fundamental del álgebra (que afirma que un polinomio no constante sobre números complejos tiene una raíz compleja). Como han dicho otros en las respuestas, este es el teorema del factor que es mucho más fácil de demostrar que el teorema fundamental.
0 votos
Relacionado: math.stackexchange.com/questions/1689061
0 votos
Por el bien de agregar a los comentarios anteriores, nota que los polinomios son necesariamente de grado finito $n<\infty$. Por lo tanto, según el Teorema Fundamental del Álgebra, la respuesta deseada debería ser inmediata.