¿Existe una función polinómica $P(x)$ con coeficientes reales que tiene un número infinito de raíces? ¿Y si $P(x)$ es el polinomio nulo, $P(x)=0$ para todo x?
Sin embargo, no funciona si tenemos divisores de cero.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?El único polinomio con infinitas raíces es $$P(x)=0.$$ Puedes demostrarlo sin apelar al teorema fundamental del álgebra. En particular, demostremos lo siguiente:
Un polinomio de grado $n\geq 1$ tiene como máximo $n$ raíces.
Lo demostramos por inducción. En el caso lineal, obviamente tenemos que $P(x)=mx+b$ tiene exactamente una raíz en $\frac{-b}m$ . A continuación, supongamos que $P(x)$ es un polinomio de grado $n$ . Si no tiene raíces, satisface la hipótesis trivialmente. En caso contrario, dejemos que $r$ sea una raíz. Uno puede, usando la división larga del polinomio, determinar que hay un grado $n-1$ polinomio $P_2$ tal que $$P_2(x)\cdot (x-r)=P(x).$$ Se puede comprobar que esta condición es realmente equivalente a decir que $r$ es una raíz, ya que, al hacer la división larga de polinomios, encontrarás que el resto es exactamente $P(r)$ .
Sin embargo, por la ley del producto cero, esto significa que $P$ tiene una raíz exactamente cuando $x-r$ o $P_2(x)$ es $0$ . Por hipótesis inductiva, $P_2(x)$ es $0$ para un máximo de $(n-1)$ valores distintos de $x$ y claramente $x-r$ es cero sólo en $r$ . Así, $P(x)$ puede tener como máximo $n$ ceros. Esto completa la prueba.
Obsérvese que esto, a diferencia del teorema fundamental del álgebra, se cumple en cualquier campo - es decir, sólo necesitamos que la multiplicación, la suma y sus inversos se comporten adecuadamente.
@Matthew Correcto, por lo que esta prueba sólo funciona para campos, que necesariamente no tienen divisores cero (ya que si $ab=0$ para los casos en los que el valor es distinto de cero $b$ entonces $a=abb^{-1}=0b^{-1}=0$ ). No se extiende al caso de los anillos, donde, por la razón que señalas, no es necesariamente cierto.
Esto es válido en cualquier dominio integral . $\:$ Uno podría ver eso de forma abstracta incrustando en el campo de las fracciones, pero es más directo simplemente observar que su prueba pasa por ellos. $\;\;\;\;$
Henrik
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Matthew Levy
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No, el teorema fundamental del álgebra nos dice que hay como mucho $n$ raíces en el plano complejo $\Bbb C$ para $\deg(f)=n$ . Desde $\Bbb R$ es un subconjunto de $\Bbb C$ Esto significa que $f$ tiene como máximo $n$ raíces reales. Normalmente se descarta el caso $f\equiv 0$ cuando se habla de estas cosas.
Si quieres pensar en las funciones analíticas como polinomios de "grado infinito", entonces
$$\sin z:=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}$$
tiene infinitas raíces en la recta real, y $\sin z \not \equiv 0$ .
De hecho, en cualquier dominio integral $R$ el número de factores de $f\in R[x]$ es como máximo $\deg(f)$ . $0$ es sólo un factor del polinomio cero, así que vamos a excluirlo.
No, el teorema fundamental del álgebra dice algo muy diferente. Lo que se aplica aquí es el teorema de Bezout, en su lugar (que, junto con el teorema fundamental del álgebra, implica que un polinomio complejo se descompone en términos lineales; por cierto, es mucho más elemental, por ejemplo, me habían contado una demostración de él en el aula de la escuela secundaria, en marcado contraste con el teorema fundamental del álgebra, cuya demostración adecuada no he visto hasta los cursos de análisis complejo y manifiestos diferenciables de segundo año, creo).
MKM
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Tim Raczkowski
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Sólo si tiene un número infinito de términos.... o ninguno, $P(x) := 0$
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Según el Teorema Fundamental del Álgebra, cualquier función polinómica de grado $n$ puede tener como máximo $n$ raíces. es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_álgebra
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Como la mitad de mi comentario ha llegado a la pregunta, sólo añadiré un poco para decir que tampoco creo que $P(x) := 0$ o $P(x) := k$ una constante se califican como polinomios en muchos sentidos. Es uno de esos casos en los que los contaremos como polinomios si es conveniente, y luego los descalificaremos cuando compliquen algún proceso.
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@Joffan: Esto no suele ser útil. Es como decir que el vector cero no es un vector.
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@darijgrinberg Similar en algunos aspectos; también lo obviaremos cuando sea conveniente, asumiendo tranquilamente que los vectores tienen todos dirección. Pero una función constante tiene muy poco de "polinómica", mientras que incluso un vector nulo tiene el marco de la vectorialidad.
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Si $c$ es una raíz de $P(x)$ entonces $P(x)=(x-c)Q(x)$ para algún polinomio $Q(x)$ de menor grado. El grado no puede seguir siendo más bajo para siempre. Véase mi respuesta más abajo. Creo que esto simplifica la cuestión, ya que a veces no me gustan las respuestas demasiado largas.
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@Joffan Los polinomios constantes se consideran siempre polinomios.
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Aquí hay un poco de trivia: Euler pensó en $\sin x$ como un "polinomio" con un número infinito de raíces a adivinar esta identidad correcta .
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Este es un ejemplo de escenario en el que la respuesta es no trivial "sí".
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@Spark: Este hecho no es el teorema fundamental del álgebra (que dice que un polinomio no constante sobre números complejos tiene una raíz compleja). Como han dicho otros en las respuestas, se trata del teorema del factor, que es mucho más fácil de demostrar que el teorema fundamental.
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Relacionado con esto: math.stackexchange.com/questions/1689061