Triple suma finita

Question

$\displaystyle \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^c f(i,j,k)$ donde a,b,c son números naturales fijos y suponiendo $f(i,j,k)=i+j+k$ . ¿Cómo se calcula esa suma? Quiero decir, ¿hay algún tipo para esa suma? Función $f$ incluye $i, j$ y $k$ y eso me confunde.

Answer 1

$$\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^cf(i,j,k)=\sum_{n=3}^{a+b+c}n\sum_{i+j+k=n}1=\sum_{n=3}^{a+b+c}n\binom{n-1}{2}$$ $3\leq f(i,j,k)=i+j+k=n\leq a+b+c$

Answer 2

Desde $$ \sum_{i=1}^ai=\binom{a+1}{2} $$ tenemos $$ \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^ci=\binom{a+1}{2}bc $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^c (i + j + k) &=\left(\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^ci\right) +\left(\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^cj\right) +\left(\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^ck\right)\\[6pt] &=\quad\overbrace{\binom{a+1}{2}bc}^{\text{contribution of }i} \quad+\quad\overbrace{a\binom{b+1}{2}c}^{\text{contribution of }j} \quad+\quad\overbrace{ab\binom{c+1}{2}}^{\text{contribution of }k}\\[18pt] &=\frac{abc(a+b+c+3)}{2} \end{align} $$

Answer 3

Usted quiere evaluar $\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^c (i+j+k)$ Empieza por la suma interior. El $i+j$ es constante, ya que sólo $k$ es variable, por lo que sólo aporta $c(i+j)$ porque hay $c$ términos. El $k$ parte da el número del triángulo $\frac 12c(c+1)$ Así que $$\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^c (i+j+k)=\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b c(i+j)+\frac 12c(c+1)$$ Ahora haz la suma sobre $j$ de la misma manera: cualquier término que no incluya un $j$ es una constante y sólo se multiplica por $b$ ya que hay $b$ de ellos. El término que incluye $j$ da un número triangular, ¿cuál?