Dejemos que $X$ sea un conjunto no vacío , sea $\mathscr{A}$ sea un álgebra de subconjuntos de $X$ y que $\mu$ sea una medida aditiva finita sobre $\mathscr{A}$ demostrar que si $\mu$ es aditivo contable, en el sentido de que $\mu (\cup U_n)=\sum \mu(U_n)$ se mantiene siempre que $U_n\in\mathscr{A},\cup U_n\in\mathscr{A}$ y $U_n$ son disjuntos, entonces tenemos una medida aditiva contable definida en el álgebra sigma $\sigma(\mathscr{A})$ que es generado por $\mathscr{A}$ y está de acuerdo con $\mu$ en $\mathscr{A}$
La pista es considerar $$\mu^{*}(A)=\inf\{\sum_{k=1}^{+\infty}\mu(A_k):A_n\in\mathscr{A},n\ge 1,A\in\cup_{k=1}^{+\infty}A_k\}$$ Podemos demostrar $\mu^{*}$ es una medida externa y coincide con $\mu$ en $\mathscr{A}$ Así que una forma natural es restringir $\mu^{*}$ en $\sigma(\mathscr{A})$ pero tengo problemas para demostrar la propiedad contablemente aditiva, me imagino que como es una restricción de una medida exterior tenemos la propiedad contablemente subaditiva, pero ¿cómo demostrar los otros lados de la desigualdad?
