Producto semidirecto no trivial de grupos extraespeciales

Question

Estaba pensando en definir un producto semidirecto de esta manera: $$7^{1+2}_+ \rtimes 3^{1+2}_+$$

Recordando que $7^{1+2}_+ \simeq (C_7 \times C_7 )\rtimes C_7$ La idea era definir $$\phi: 3^{1+2}_+ \to 3^{1+2}_+ / Z(3^{1+2}_+) \simeq C_3 \times C_3 \to \operatorname{Aut}(C_7 \times C_7)$$

donde cada $C_3$ actúa sobre los respectivos $C_7$ por separado. Entonces, extenderíamos la misma acción a $(C_7 \times C_7) \rtimes C_7$ sólo por "ignorar" la tercera $C_7$ (esta es la parte de la que no estoy seguro).

Sin embargo, me confunde la estructura de estos grupos extraespeciales y realmente no entiendo qué debo comprobar en este caso para ver si dicho mapa está bien definido.

Entonces, mi pregunta es: ¿las definiciones anteriores dan un producto semidirecto bien definido entre los dos grupos extraespeciales? Y, si no lo hacen, ¿hay alguna forma de definirlo (excluyendo, por supuesto, el producto directo)?

Answer 1

Las presentaciones son útiles para comprobar si las asignaciones de generadores se extienden a los automorfismos de grupo.

Su grupo $(C_7 \times C_7) \rtimes C_7$ tiene una presentación $$\langle a,b,c \mid a^7=b^7=c^7=1,[a,c]=[b,c]=1,[b,c]=a \rangle,$$ donde $a$ , $b$ y $c$ pueden tomarse como los generadores de los tres $C_7$ subgrupos.

Una asignación de generadores se extiende a un homomorfismo si y sólo si preserva las relaciones de la presentación. Esto se aplica en particular a las asignaciones $$\alpha:a \mapsto a^{2}, b \mapsto b,c \mapsto c^{2},$$ y $$\beta:a \mapsto a^2, b \mapsto b^{2},c \mapsto c,$$ por lo que ambos se extienden a homomorfismos, que son claramente automorfismos, y ambos tienen orden $3$ .

Tenga en cuenta también que $$\alpha\beta = \beta \alpha:a \mapsto a^4, b \mapsto b^{2},c \mapsto c^2,$$ así que $\langle \alpha,\beta \rangle \cong C_3 \times C_3$ que es lo que quieres.

De hecho $\langle \alpha,\beta \rangle$ es un Sylow $3$ -subgrupo de ${\rm Aut}((C_7 \times C_7) \rtimes C_7)$ por lo que es, hasta el isomorfismo, el único producto semidirecto con acción fiel.

Pero tenga en cuenta que la asignación, que podría haber sido una de las posibilidades que usted estaba considerando, $$a \mapsto a^2, b \mapsto b,c \mapsto c,$$ no se extiende a un automorfismo.