Determinante de la matriz compleja de bloques

Question

Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ matriz invertible. Sea $a \in \Bbb C$ , dejemos que $\alpha$ ser una fila $n$ -de números complejos y que $\beta$ sea una columna $n$ -tupla de números complejos. Demuestre que

$$(\det(A))^{-1}\, \det\left(\begin{bmatrix}a & \alpha\\ \beta & A \end{bmatrix}\right)=\det\left(a-\alpha A^{-1}\beta\right).$$

¿Puede alguien mostrarme cómo probar esto?

Answer 1

Una pista: $$ \begin{align} (\det A)^{-1} \det \begin{bmatrix} a & \alpha\\ \beta & A \end{bmatrix} &= \det\left( \begin{bmatrix} 1 & \left(\vec 0\right)^T\\ \vec 0 & A^{-1} \end{bmatrix} \right)\det\left( \begin{bmatrix} a & \alpha\\ \beta & A \end{bmatrix} \right) \\ &= \det\left( \begin{bmatrix} 1 & \left(\vec 0\right)^T\\ \vec 0 & A^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & \alpha\\ \beta & A \end{bmatrix} \right) \\ &= \det \begin{bmatrix} a & \alpha \\ A^{-1}\beta & I \end{bmatrix} \end{align} $$ Dónde $\vec 0$ es la columna $n$ -pareja de ceros.