X es completa si la secuencia de Cauchy converge a su límite en X >0 N: n>N xn-x1< Por lo tanto, sea (X,1) - separable y xn - secuencia de Cauchy en (X,1) y xnx >0 N: n>N xn-x1< Tenemos normas equivalentes, es decir a,b: a*21b*2 a*xn-x2xn-x1 xn-x2/a Eso significa que (X,2) es completa, ¿no? ¿Cómo puedo demostrar que no es necesariamente completa?
Respuestas
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G. Kopsacheilis
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24
Dejemos que $a,b>0$ tal que para todo $x\in X$ es $\|x\|_1\leq a\|x\|_2$ y $\|x\|_2\leq b\|x\|_1$ . Supongamos que $(X,\|\cdot\|_1)$ está completo. Demostraremos que $(X,\|\cdot\|_2)$ también está completo.
Si $(x_n)\subset X$ es una secuencia de Cauchy para $(X,\|\cdot\|_2)$ entonces para cualquier $\varepsilon>0$ existe $n_0$ tal que para todo $m,n\geq n_0$ es $\|x_n-x_m\|_2\leq\varepsilon$ . Por lo tanto, si $\varepsilon>0$ Considera que $\varepsilon/a>0$ y encontrar $n_0$ tal que para todo $n,m\geq n_0$ es $\|x_n-x_m\|_2<\varepsilon/a$ . Entonces para tal $n,m$ es $\|x_n-x_m\|_1<\varepsilon$ Así que $(x_n)$ es Cauchy para $(X,\|\cdot\|_1)$ . Este espacio está completo, así que $x_n\to x$ con respecto a $\|\cdot\|_1$ . Pero entonces $0\leq\|x_n-x\|_2\leq b\|x_n-x\|_1\to0$ Así que $x_n\to x$ con respecto a $\|\cdot\|_2$ Así que $(x_n)$ es convergente en $(X,\|\cdot\|_2)$ y hemos terminado.
Un comentario: ¡mantener las cosas ordenadas ayuda!
Sisyphus
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91
Supongamos que $(X,\|\cdot\|_1)$ está completo. Dejemos que $(x_n)$ sea una secuencia de Cauchy en $(X,\|\cdot\|_2)$ . Para demostrar que $(X,\|\cdot\|_2)$ está completo, quiere encontrar un $x\in X$ tal que $\|x_n-x\|_2\to 0$ . Para ello, considere lo siguiente:
- Demostrar que $(x_n)$ también es Cauchy en $\|\cdot\|_1$ , utilizando que las normas son equivalentes.
- Desde $(X,\|\cdot\|_1)$ es completa, existe un $x\in X$ tal que $\|x_n-x\|_1\to 0$ . Este es nuestro límite de candidatos.
- Demostrar que $\|x_n-x\|_2\to 0$ utilizando que las normas son equivalentes.
