¿Existe un conjunto compacto con medida positiva en $[0,1]\setminus \Bbb Q$

Question

Me pregunto si existe un conjunto compacto de Lebesgue (con respecto a la topología habitual en $[0,1]$ ) en $[0,1]\setminus \mathbb{Q}$ cuya medida de Lebesgue es positiva. De hecho acabamos de ver el teorema de Egoroff en clase, y pensé en las funciones $$ f_n(x)= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{n} & \mbox{if } x\in[0,1]\setminus \mathbb Q\\ 1 & \mbox{otherwise.} \end{array} \right. $$ Obviamente $f_n\to f\; \mu$ -a.e., pero como $\mathbb Q$ es denso, me pregunto cómo podemos encontrar un conjunto compacto $F\subset [0,1]$ para un determinado $\delta>0$ tal que $\mu([0,1]\setminus F)<\delta$ y $\sup_{x\in F} |f_n(x)-f(x)|\to 0 $ como $n\to 0$ . ¿Podría explicar por qué Egoroff es válido en este caso?

Answer 1

Medida de Lebesgue $\mu$ es regular. Esto significa que $\mu (E)=\sup \{\mu (K): K \subseteq E: K \textrm{ compact }\}$ . Tomando $E=[0,1]\setminus \mathbb Q$ vemos que existen subconjuntos compactos de este conjunto con medida tan cercana a $1$ como quieras.