¿Cómo se calcula la derivada tras un cambio de variables?

Question

¿Cómo calcularía usted $df \over d$ si $f(x,y) = x^2+y^2$ donde $x = \sin 2$ y $y = \cos 2$ ?

He probado con Wolfram y con la regla del producto pero no consigo llegar a nada.

Answer 1

Más básico que la regla de la cadena:

$f(x(\theta),y(\theta)) = \sin^2(2\theta)+\cos^2(2\theta) = 1$ Así que $\frac{df}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} (1) = 0$

Answer 2

Regla de la cadena: $$ \frac{\partial f}{\partial\theta} = \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial\theta} + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial\theta}. $$

PS: La pregunta fue editada después de que publicara esto, indicando que $f(x,y)=x^2+y^2$ . Esto, por supuesto, lo hace mucho más sencillo que si se tratara de una función diferente, ya que una de las identidades pitagóricas de la trigonometría lo simplifica.

Answer 3

Aquí hay una respuesta trabajada utilizando el la regla de la cadena Aunque yo sugeriría que el enfoque de Steven es el mejor:

$$ \frac{df}{d\theta} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{d\theta} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{d\theta} $$

Así que

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y $$

$$ \frac{dx}{d\theta} = 2cos 2\theta \quad \frac{y}{d\theta} = -2sin2\theta $$

\begin{align*} \frac{df}{d\theta} & = 4xcos2\theta - 4y sin2\theta\\ & = 4sin2\theta cos2\theta - 4cos2\theta sin2\theta \\ & = 0 \end{align*}