En la búsqueda de una teoría de cohomología de Weil $H$ sobre un campo $K$ (con $\text{char}(K)=0$ ) para las variedades en la característica $p$ un argumento clásico de Serre muestra que el campo de coeficientes no puede ser un subcampo de $\mathbb{R}$ o de $\mathbb{Q}_p$ una opción obvia es tomar $\mathbb{Q}_\ell$ para un primer $\ell \neq p$ .
Ahora, podemos intentar hacer una teoría de cohomología de Weil tomando la cohomología de gavillas con gavillas constantes con la topología de Zariski, pero esto no funciona ya que toda la cohomología desaparece.
La idea de Grothendieck fue que podemos encontrar una topología diferente, por ejemplo la topología étale. Entonces podemos construir una teoría de cohomología de Weil con coeficientes en $\mathbb{Q}_\ell$ tomando la cohomología con coeficientes en las láminas constantes $\mathbb{Z}/ \ell^n\mathbb{Z}$ y luego tomar el límite inverso con respecto a $n$ y el tensor con $\mathbb{Q}_\ell$ Esto da como resultado $\ell$ -cohomología de los ádicos.
Pero no me queda tan claro por qué la topología étale es la más adecuada para esta tarea. ¿Qué ocurre si repetimos el procedimiento anterior en otros sitios? ¿La teoría de cohomología que obtenemos no es una teoría de cohomología de Weil?
P.D.: Información para los campos que no sean $\mathbb{Q}_\ell$ ¡también estaría bien!
