Tengo la norma y el producto interno \begin{align} \|u(x)\|^2&=\int_a^b |u(x)|^2 \, \mathrm{d}x,\\ \left<u(x),v(x)\right>&=\int_a^b u(x)v(x) \, \mathrm{d}x \end{align} ¿Por qué se puede escribir esta integral como \begin{align} \int_\Omega u(x,t)\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} \, \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d} \|u(x,t)\|^2}{\mathrm{d}t} \end{align} Además, ¿por qué no hay una derivada parcial en el lado derecho?
Respuesta
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Dr. MV
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La expresión tal y como está escrita en el PO no es del todo correcta. Si $u\in \mathbb{C}$ entonces tenemos
$$\begin{align} \frac{d||u||^2(t)}{dt}&=\frac{d}{dt}\int_a^b |u(x,t)|^2\,dx\\\\ &=\int_a^b \frac{\partial}{\partial t}(u(x,t)\,\overline{u}(x,t))\,dx\\\\ &=\int_a^b \left(u(x,t)\frac{\partial \overline{u}(x,t)}{\partial t}+\overline{u}(x,t)\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\right)\,dx \tag 1 \end{align}$$
Si $u\in \mathbb{R}$ entonces $(1)$ se convierte en
$$\begin{align} \frac{d||u||^2(t)}{dt}&=2\int_a^b u(x,t)\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}\,dx \tag 1 \end{align}$$
La razón por la que la derivada total aparece fuera de la integral mientras que la derivada parcial aparece dentro de la integral es que la integración de $|u(x,t)|^2$ es sobre la variable ficticia $x$ . Por lo tanto, $||u||^2(t)$ es sólo una función de $t$ .
