He escrito una prueba, pero no sé si es válida o no, ¿podría alguien comprobarla y, si existe alguna laguna, informarme? La pregunta es la siguiente (Capítulo 3 problema 3) :
Supongamos que un espacio vectorial $V$ es de dimensión finita. Demostrar que cualquier mapa lineal sobre un subespacio de $V$ puede extenderse a un mapa lineal sobre $V$ . En otras palabras, demuestre que si $U \subseteq V$ y $S \in \mathcal L(U,W)$ , donde $\mathcal L(U,W)$ denota el espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de $U$ en $W$ entonces existe $T \in \mathcal L(V,W)$ tal que $Tu=Su \ \ \forall u \in U$ .
Mi prueba es la siguiente:
Si una base de $U$ es $ \{u_1,...,u_k \} $ entonces podemos extender esta base a una base de $V$ que es $ \{u_1,...u_k,v_1,...v_n\}$ . $\forall u \in U$ , $$ u = \sum_{i=1}^k a_iu_i$$
pero también, podemos escribir esto como $$ u = \sum_{i=1}^k a_iu_i + \sum_{j=1}^n 0*v_j$$
Por lo tanto, defina $T:V \to W$ tal que $Tu_i=Su_i$ así que $$Tu = \sum_{i=1}^k a_iTu_i+\sum_{j=1}^n 0*Tv_j = \sum_{i=1}^k a_iTu_i = Su$$
¿Hay algún error en mi prueba? ¡Por favor, notifíqueme cualquier error y laguna, y las sugerencias sobre el método de prueba que utilizo son bienvenidas!
