Dejemos que $f$ ser un $2$ función periódica donde $$f(x) = \frac{ - x}2$$ en $[0, ]$ .
Se sabe que la serie de Fourier de $f$ es $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}n$$
¿En qué puntos de $[-, ]$ hace $$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin nx}n$$ ¿tiene?
Respuesta
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El $2\pi$ -función periódica $f$ es impar (esto se deduce de la expansión de la serie de Fourier); en $[0,\pi]$ su expresión viene dada por
$$f(x)=\frac{\pi-x}{2}.$$
En resumen (esto se desprende del trazado $f$ ), debido a la simetría y $2\pi$ -periodicidad $f$ es discontinuo en $x=0$ y continua en $[-\pi,\pi]-\{0\}$ . Entonces la suma de Fourier
$$F_k(x):=\sum_{n=1}^k\frac{\sin nx}{n} $$
converge puntualmente a $\tilde{f}$ en $[-\pi,\pi]-\{0\}$ , donde $\tilde{f}(x)=\frac{\pi-x}{2}$ si $x\in(0,\pi]$ y $\tilde{f}(x)=\frac{x-\pi}{2}$ si $x\in[-\pi,0)$ .
En $x=0$ tenemos
$$\lim_{k\rightarrow \infty} F_k(0)=\frac{f_+(0)+f_0(0)}{2}=\frac{\pi}{2}, $$
con $f_+(0):=\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)$ y $f_+(0):=\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)$ .
