resolver para $A$ en $\cos A+\cos2A+\cos3A=0$

Question

Resolver para $A$ donde, $0°\leq A\leq 360°$

$\cos A+\cos2A+\cos3A=0$

Mi intento;

Aquí, $$\cos A+\cos2A+\cos3A=0$$ $$\cos A+2\cos^2A-1+4\cos^3A-3\cos A=0$$ $$4\cos^3A+2\cos^2A-2\cos A-1=0$$ .

Ahora, ¿qué debo hacer para seguir adelante?

Answer 1

$$4cos^{ 3 }A+2cos^{ 2 }A-2cosA-1=0\\ 2\cos ^{ 2 }{ A } \left( 2\cos { A } +1 \right) -\left( 2\cos { A } +1 \right) =0\\ \left( 2\cos { A } +1 \right) \left( 2\cos ^{ 2 }{ A } -1 \right) =0\\ \cos { A } =-\frac { 1 }{ 2 } ,\cos ^{ 2 }{ A } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \cos { A } =\pm \frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } \\ $$ ¿se puede proceder?

Answer 2

Una pista: $$ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $$ Solicite con $\alpha=3A$ y $\beta=A$ .

Answer 3

No se necesitan fórmulas de ángulos múltiples.

$\cos A+\cos 3A = 2 \cos A \cos 2A$

$\cos A+\cos 2A+\cos 3A=0=(\cos 2A)(1+2\cos A)$

Entonces $\cos 2A=0$ o $\cos A=-1/2$ Ambos son fáciles de resolver.