¿Cuál es la mejor manera de resolver $x,y\in\mathbb N$ dadas las condiciones $\begin{cases}x\mid y+a\\y\mid x + b\end{cases}$ ? Las letras $a,b\in\mathbb N$ denotan números constantes conocidos.
El caso cuando $x,y\in\mathbb Z$ no me interesa del todo, ya que parece proporcionar una cantidad infinita de soluciones. La prueba que se me ha ocurrido es:
Dejemos que $\begin{cases}y+a=xk\\x+b=yl\end{cases}$ , donde $k,l\in\mathbb Z$ . Sumando las igualdades, podemos ver que $$y(l-1)+x(k-1)=a+b$$
Ahora dejemos que $\begin{cases}\alpha=y(l-1)\\\beta=x(k-1)\\c=a+b\end{cases}$ . Así que tenemos que $$\alpha + \beta = c$$ Todos podemos notar que esta ecuación tiene una cantidad infinita de soluciones. Q.E.D.
En cuanto al caso de que $x,y\in\mathbb N$ He encontrado un método de solución que es casi idéntico al que se muestra arriba. Tenemos la ecuación $$y(l-1)+x(k-1)=a+b$$ El hecho de que estemos tratando con números naturales nos permite encontrar todas las soluciones. La cantidad de ellas en este caso es siempre finita. Dejando que $l=1$ entonces $l=2$ , $l=3$ etc. Podría buscar todas las soluciones, pero sería bastante largo dependiendo del tamaño de $a$ , $b$ .
Un enfoque basado en desigualdades no parece funcionar. Las desigualdades $\begin{cases}y+a\ge x\\x+b\ge y\end{cases}$ no parecen aportar grandes beneficios y probablemente no nos permitan resolver el problema.
Así que mi pregunta es:
¿Cuál es la mejor manera que se le ocurre para resolver estos problemas?
