Prueba de que si $G$ permuta los factores de $T^k$ de forma transitoria, $G$ es máxima en $T^k \rtimes G$

Question

Supongamos que $T$ es un grupo simple finito no abeliano, $Inn(T^k) \leq G \leq Aut(T^k)$ y $G$ permuta los factores de $T^k$ de forma transitoria. Demostrar que $G$ es un subgrupo máximo en $T^k \rtimes G$ (donde $G$ actúa sobre $T^k$ como un subgrupo de $Aut(T^k)$ )

Puedo demostrar que $T^k$ es un subgrupo normal mínimo en $T^k \rtimes G$ . A partir de aquí, quiero argumentar lo siguiente: Supongamos que $G$ no es máxima. Entonces $\exists$ un subgrupo de la forma $N \rtimes G$ , donde $N \leq T^k$ . Ahora quiero reclamar o eso:

1. $N \vartriangleleft T^k$ (en cuyo caso $N \cong T^j$ para algunos $j \leq k$ pero los factores de $T^k$ se permutan transitivamente), o
2. $N \vartriangleleft T^k \rtimes G$ , lo que implica que $N \vartriangleleft T^k$ .

Obviamente $N \vartriangleleft N \rtimes G$ pero no sé si esto implica $1$ . o $2$ ., o si esas afirmaciones son siquiera ciertas. Soy nuevo en esto de los productos semidirectos, así que quizá haya algún resultado que se me escape. ¿Puede alguien indicarme la dirección correcta?

Answer 1

¡Lo he resuelto! Si hay algún subgrupo $N \rtimes G$ en $T^k \rtimes G$ , donde $N \leq T^k$ entonces $N$ es invariante bajo la acción de $G$ en $T^k$ . En particular, dado que $Inn(T) \leq G$ , $N \vartriangleleft T^k$ . Así que $N = \prod_{j \in J}T$ para algunos $J \subset \{1,...,k\}$ . Como $G$ permuta los factores de $T^k$ transitivamente, debemos tener $N = T^k$ .