¿Criterios para definir un lagrangiano de campo topológico (clásico)? + Conjetura

Question

Tengo una pregunta sobre las teorías de campo topológicas. Prefiero mantener la discusión en el nivel clásico, para concentrarme en la característica de la evolución topológica, que es lo que me interesa aquí. En realidad, tengo más preguntas, pero quiero asegurarme de que lo que digo tiene sentido.

¿Son estas afirmaciones correctas/equivalentes entre sí?:

Para que una teoría de campo clásica sea topológica, si la teoría admite una formulación lagrangiana:

1. La densidad lagrangiana debe ser un $0$ -forma / $n$ -forma; $^*$ $n$ siendo la dimensión de la variedad de fondo, $\mathcal{M}$ .
2. La teoría tiene tantos grados de libertad como restricciones, aunque estén ocultas a primera vista.
3. La teoría no tiene propagación.
4. El colector no tiene una métrica, o la métrica no interviene en la "dinámica". $^{**}$

(Lo anterior está más o menos implícito en la literatura/conferencias, etc.)

Me parece claro que las teorías de campos topológicos están tan restringidas que los campos sólo pueden evolucionar "mínimamente". Pero, ¿qué significa eso en general? Las soluciones no tienen que estar "congeladas", salvo en el caso particular de las soluciones estáticas. ¿Podría ser algo como ¿Esto?

Conjetura:

Un campo clásico tiene una evolución topológica $\Rightarrow$ la evolución puede resolverse en(*) un conjunto finito de movimientos cuasi-rígidos; es decir, una expansión en términos de un conjunto finito de "entidades" móviles autoconsistentes, como, $$ \varphi_{a}\left(x\right)=\varphi_{a}\left(t,\boldsymbol{x}\right)=\sum_{\alpha}\gamma_{\alpha}\left(t\right)f_{a}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{q}_{\alpha}\left(t\right)\right) $$ donde el índice $\alpha$ representa la topología (número de "lóbulos", "nodos", "polos" y similares), y la suma es finita porque, de lo contrario, se podría representar una solución que se propaga mediante una suma infinita de este tipo. Además, he dejado de lado las propiedades de transformación de Poincaré por el momento.

(*) No estoy sugiriendo linealidad; la dependencia podría ser más complicada, por ejemplo, $\sum_{\alpha,\beta}\gamma_{\alpha\beta ab}\left(t\right)f_{a}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{q}_{\alpha}\left(t\right)\right)f_{b}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{q}_{\beta}\left(t\right)\right)$ El $\gamma$ que aparecen como poderes, etc.

$^*$ Editar: No involucra a los operadores diferenciales --pendiente de revisión por otros.

$^{**}$ Editar: Punto añadido. Muchas gracias a @ChiralAnomaly. Espero tener más sentido y no llegar demasiado tarde.

Nota: Si quieres considerar una teoría en la que no hay una métrica, o una forma sensata de definir las foliaciones del tiempo, supongo que puedes considerar cualquier otro parámetro $s$ , en lugar de $t$ para describir las curvas en la variedad, y el correspondiente grupo de difeomorfismo. De nuevo, espero que tenga sentido. Gracias @ChiralAnomaly.

Answer 1

El nombre "teoría de campos topológicos" no siempre se utiliza de la misma manera. La pregunta se refiere a la teoría topológica de campos clásica, pero esta respuesta ayuda a aclarar la cuestión enumerando algunas de las muchas formas diferentes en que la gente ha utilizado el nombre "topológico". quantum teoría del campo".

Por esa razón, probablemente no vamos a encontrar ninguna definición única de la teoría de campos topológicos clásica, pero tal vez sí podamos encontrar una definición única. Sugeriré la idea 4 de la pregunta como candidata a tal definición, y luego comentaré las otras ideas 1,2,3 que se enumeran en la pregunta.

Aquí hay un candidato, que es la opción 4 de la pregunta: Una teoría de campo topológica (clásica) es aquella que no utiliza una estructura métrica.

¿Cómo se relaciona esto con las otras ideas 1,2,3 que se enumeran en la pregunta? Sin tratar de ser matemáticamente preciso, he aquí algunas ideas:

1. Tal como está, la afirmación 1 es siempre cierta, no sólo para las teorías topológicas. Sólo una $n$ -forma puede integrarse en un $n$ -de las dimensiones. Si el colector puede ser cubierto por un solo parche de coordenadas, entonces podemos escribir el $n$ -formar como $d^nx\,L$ donde el $0$ -forma $L$ es la densidad lagrangiana habitual. Como ejemplo, la acción para el campo electromagnético libre $F_{ab}\equiv\partial_a A_b-\partial_b A_a$ con una métrica de fondo $g^{ab}$ en $n$ El espacio-tiempo de las dimensiones es $\int d^nx\ L$ con $L=\sqrt{|g|} g^{ab}g^{cd}F_{ac}F_{bd}$ . Nadie llama a esto una teoría de campo topológica, porque depende de la métrica prescrita $g^{ab}$ aunque $L$ y $d^nx\ L$ puede considerarse como un $0$ -y un $n$ -forma, respectivamente.

2. La forma correcta de comparar las afirmaciones 2 y 4 no me queda clara, porque sin una estructura métrica, no hay distinción entre tiempo y espacio, y sin eso, se pierde la distinción entre "ecuaciones de movimiento" y "restricciones". (Pero véase el ejemplo de abajo...)

3. La forma correcta de comparar los enunciados 3 y 4 tampoco me queda clara, porque sin una estructura métrica, no hay distinción entre tiempo y espacio, y sin eso, no sé qué deberían significar palabras como "propagación/evolución/congelación/estática". (Pero véase el ejemplo de abajo...)

Aunque no estoy seguro de cómo comparar los enunciados 2 y 3 con el enunciado 4, podría resultar que están estrechamente relacionados (después de que los hagamos inequívocos, cosa que no intentaré hacer). Para ver por qué, consideremos el ejemplo de la relatividad general en vacío $2+1$ espacio-tiempo de dimensiones. La RG implica una estructura métrica, por lo que el criterio no métrico (afirmación 4) parece decir que no es topológica. Sin embargo, en contraste con la situación en el espaciotiempo de cuatro o más dimensiones, la RG en el espaciotiempo de tres dimensiones no tiene ningún grado de libertad que se propague, por lo que sí se califica como topológica según la opción 3, y creo que podemos hacer una afirmación similar sobre la opción 2. ¿Significa esto que las opciones 2,3 no son equivalentes a la opción 4? No necesariamente, porque la RG en el espaciotiempo tridimensional se puede reescribir sin utilizar una estructura métrica. Después de reescribirlo así, se califica como topológico según el criterio no métrico (opción 4).

Otra idea, pero no sé cómo hacerla funcionar

Para quantum teoría de campos (QFT), se dispone de una definición matemáticamente elegante, que llamaré la functorial definición. (No sé si tiene un nombre establecido.) Podríamos intentar adoptar una definición similar para el caso clásico, pero enseguida nos encontramos con un obstáculo que no sé cómo superar. De todos modos, a modo de inspiración, apuntaré la idea aquí.

La definición functorial se restringió originalmente a la QFT topológica (TQFT), pero ahora se aplica también a otras QFT. He citado algunas referencias en otra pregunta . Por eso lo menciono aquí: es lo suficientemente versátil como para cubrir todo de los diferentes sabores de "topológico", hasta llegar a los sabores completamente no topológicos.

La definición funtorial se expresa en términos de teoría de categorías. La teoría de categorías es una idea fundamental en matemáticas que hace hincapié en las relaciones entre estructuras matemáticas similares más que en las propias estructuras. La idea es que en lugar de definir una QFT en un único fondo de espaciotiempo, podemos definirla simultáneamente en todo fondos espaciotemporales de una manera que enfatiza cómo los diferentes fondos (y las correspondientes QFT) están relacionados entre sí. En la jerga: una QFT es una functor de una categoría de espacios-tiempo con límites (relacionados entre sí por bordismos) a una categoría de espacios de Hilbert. Un functor es un mapa de una categoría a otra que juega bien con sus respectivas estructuras. La categoría de espacios-tiempo-con-límite puede llevar varios tipos de estructura, como una estructura suave, una estructura de espín, e incluso una estructura métrica, por lo que podemos utilizarla para todo tipo de QFT, incluyendo los diversos sabores de TQFT descritos en esta respuesta y presumiblemente incluyendo QFTs "ordinarias" como QED y QCD.

Para adaptar la definición functorial a la teoría de campos clásica, tenemos que hacer un par de ajustes. Podemos pensar en la teoría de campos clásica como un caso especial de la teoría de campos cuántica, a saber, el caso en el que todos los observables conmutan entre sí . Para que esto funcione, tenemos que permitir que el espacio de Hilbert no sea separable, lo que normalmente no se permite en la teoría cuántica por las razones explicadas en este documento (ver también este documento para una revisión menos técnica). Ajustar la definición functorial para permitir espacios de Hilbert no separables parece sencillo, pero no sé cómo modificarla para exigir que todos los observables conmuten entre sí, es decir, que se trate exclusivamente de clásico teoría de campos. A mí me parece un gran obstáculo, porque la definición functorial no distingue entre operadores autoadjuntos y observables . Es matemáticamente elegante, y me encanta por eso, pero en las aplicaciones de la QFT a física tenemos que especificar qué operadores representan los observables. Especificar "todos los operadores autoadjuntos" no siempre es apropiado, ni siquiera en la QFT, y es descaradamente inapropiado en la teoría de campo clásica, donde todos los observables deben conmutar entre sí. Por esta razón, no sé cómo adaptar la definición functorial de la TQFT al caso clásico, pero quizá merezca la pena pensar en ello.