$10^\omega$ = $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot ...= \lim_{\alpha \lt \omega} (10^\alpha) = \omega$ . ¿Son correctos mis pensamientos? ¿Es esta una explicación suficiente, dada la aritmética ordinal demostrada desde ZFC?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Yo diría que sería mejor que te remitieras a la definición adecuada de aritmética ordinal.
Para un ordinal $\alpha$ y un ordinal límite $\beta$ (como por ejemplo $\beta = \omega$ ) la exponenciación se define como
$\alpha^\beta = \bigcup_{\gamma < \beta} \alpha^\gamma$
Por lo tanto, sustituyendo los valores adecuados en la definición tenemos:
$10^{\omega} = \bigcup_{n < \omega} 10^n$
Ya que para $n \le m$ tenemos la inclusión del conjunto $10^n \subseteq 10^m \subseteq \omega$ ahora debería ser evidente que $\bigcup_{n < \omega} 10^n = \bigcup_{n < \omega} n = \omega$ .
