Intuición para el lema de invariancia

Question

El lema de invariancia, como se indica a continuación, se utiliza habitualmente para demostrar el teorema de Lie.

Lema (Lema de invariabilidad). Sea $\mathbb{k}$ sea un campo de característica cero. Sea $\mathfrak{g}$ ser un $\mathbb{k}$ -Lie algebra, let $M$ sea una representación de dimensión finita de $\mathfrak{g}$ y que $I$ sea un ideal de $\mathfrak{g}$ . Dejemos que $\lambda$ sea un elemento del espacio dual $I^*$ y que $$ M_\lambda := \{ m \in M \mid \text{$ x m =\lambda(x) m $ for all $ x\in I $} \} $$ sea el correspondiente $I$ -espacio de peso de $M$ . Este espacio de peso ya es un $\mathfrak{g}$ -subrepresentación de $M$ .

Cada vez que leo mis viejos apuntes sobre teoría de la representación de las álgebras de Lie me pregunto de dónde viene este lema. No tengo ninguna intuición de por qué debería ser cierto, y si no hubiera visto una prueba de ello probablemente incluso sospecharía que es falso.

¿Cuál es la intuición detrás del lema de invariancia?

Answer 1

Esto es una ligera extensión de la idea de que para desplazamientos endomorfismos $S,T$ de un espacio vectorial $V$ El $\lambda$ -eigenspace $V_\lambda$ de $T$ se estabiliza con $S$ . Tal vez sea bueno recordar la prueba de una línea: para $v\in V_\lambda$ , $$ T(S v) \;=\; (TS)v \;=\; (ST)v \;=\; S(Tv)\;=\; S(\lambda v) \;=\; \lambda Sv $$ así que $Sv$ está en $V_\lambda$ .

En su caso, $\lambda:I\to k$ y $\mathfrak g$ no coincide del todo con $I$ pero lo estabiliza. Pero la prueba es esencialmente la misma.