Distribución de probabilidad para diferentes probabilidades

Question

Si quisiera obtener la probabilidad de 9 éxitos en 16 ensayos y cada ensayo tiene una probabilidad de 0,6, podría usar una distribución binomial. ¿Qué podría usar si cada uno de los 16 ensayos tiene una probabilidad de éxito diferente?

Answer 1

El PMF (en general intratable) es $$ \ Pr (S = k) = \ sum _ {\ substack {A \ subset \ {1, \ dots, n \} \\ | A | = k}} \ left (\ prod_ {i \ in A} p_i \ right ) \ left (\ prod_ {j \ in \ {1, \ dots, n \} \ setminus A} (1-p_j) \ right) \,. $$ Código R:

 p <- seq(1, 16) / 17
cat(p, "\n")
n <- length(p)
k <- 9
S <- seq(1, n)
A <- combn(S, k)
pr <- 0
for (i in 1:choose(n, k)) {
    pr <- pr + exp(sum(log(p[A[,i]])) + sum(log(1 - p[setdiff(S, A[,i])])))
}
cat("Pr(S = ", k, ") = ", pr, "\n", sep = "")

Para el$p_i$ que se usa en la respuesta de los lobos, tenemos:

 Pr(S = 9) = 0.1982677

Cuando$n$ crezca, use una convolución .