Verifique que $\int_0^{\pi/2} \frac{{\rm d}\theta}{(1-m^2\cos^2{\theta})^2}= \frac{(2-m^2)\pi}{4(1-m^2)^{3/2}}$ para $0<m<1$

Question

Me han dicho que la integral

\begin{align} I&=\int_0^{\pi/2} \frac{1}{(1-m^2\cos^2{\theta})^2}\,{\rm d}\theta\\ &= \frac{(2-m^2)\pi}{4(1-m^2)^{3/2}} \end{align}

Dónde $0<m<1$ . Quiero comprobarlo, pero no tengo ni idea de cómo se hace. ¿Alguien puede explicarlo?

Estaba pensando en una posible sustitución, así que probé $x=m\cos\theta$ Sin embargo, esto hace que el problema sea más complicado, por lo que obviamente es incorrecto.

Answer 1

Supongamos que queremos evaluar $$\int_0^{\pi/2} \frac{1}{(1-\alpha^2\cos^2\theta)^2} d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \frac{1}{(1-\alpha^2\cos^2\theta)^2} d\theta.$$

donde $0\lt\alpha\lt 1.$

Introduzca $z=\exp(i\theta)$ para que $dz=iz \; d\theta$ para conseguir $$\frac{1}{4}\int_{|z|=1} \frac{1}{(1-\alpha^2(z+1/z)^2/4)^2} \frac{dz}{iz} \\ = \frac{1}{4}\int_{|z|=1} \frac{z^4}{(z^2-\alpha^2(z^2+1)^2/4)^2} \frac{dz}{iz} \\ = \frac{1}{4i}\int_{|z|=1} \frac{z^3}{(z^2-\alpha^2(z^2+1)^2/4)^2} \; dz.$$

Con la sustitución $z^2 = w$ y suponiendo $\Gamma$ siendo el contorno donde hacemos un bucle alrededor del origen dos veces esto es

$$\frac{1}{4i}\int_{\Gamma} \frac{w}{(w-\alpha^2(w+1)^2/4)^2} \; \frac{1}{2} dw \\ = \frac{1}{4i}\int_{|w|=1} \frac{w}{(w-\alpha^2(w+1)^2/4)^2} \; dw.$$

Los postes están en

$$\rho_{0,1} = \frac{2-\alpha^2\pm 2\sqrt{1-\alpha^2}}{\alpha^2} = -1 + \frac{2}{\alpha^2} \pm \frac{2}{\alpha^2} \sqrt{1-\alpha^2}.$$

Ahora con $\alpha\lt 1$ obtenemos $2/\alpha^2 > 2$ o $-1+2/\alpha^2\gt 1$ y con $2\sqrt{1-\alpha^2}/\alpha^2$ positivo $\rho_0$ no puede estar dentro del contorno. Sin embargo, hay que tener en cuenta que

$$\rho_0\rho_1 = \frac{1}{\alpha^4} ((2-\alpha^2)^2-4(1-\alpha^2)) = 1$$

y por lo tanto $\rho_1 = 1/\rho_0$ está dentro del contorno. Llama al integrante $f(w).$ La cantidad deseada viene dada entonces por

$$2\pi i \times \frac{1}{4i} \mathrm{Res}_{w=\rho_1} f(w).$$

Para encontrar el residuo escribimos

$$f(w) = \frac{w}{(w-\alpha^2(w+1)^2/4)^2} = \frac{1}{(-\alpha^2/4)^2} \frac{w}{(w-\rho_0)^2 (w-\rho_1)^2} \\ = \frac{16}{\alpha^4} \frac{1}{(w-\rho_0)^2 (w-\rho_1)} + \rho_1 \frac{16}{\alpha^4} \frac{1}{(w-\rho_0)^2 (w-\rho_1)^2}.$$

La contribución del primer término es

$$\frac{16}{\alpha^4} \frac{1}{((-4/\alpha^2) \sqrt{1-\alpha^2})^2} = \frac{1}{1-\alpha^2}.$$

Para el segundo término tenemos que

$$\frac{1}{(w-\rho_0)^2} = \frac{1}{(\rho_1-\rho_0)^2} - \frac{2}{(\rho_1-\rho_0)^3} (w-\rho_1) + \cdots$$

Por lo tanto, la contribución es

$$-\rho_1\frac{16}{\alpha^4} \frac{2}{((-4/\alpha^2)\sqrt{1-\alpha^2})^3} = \rho_1\frac{\alpha^2}{4} \frac{2}{(1-\alpha^2)\sqrt{1-\alpha^2}} \\ = \left(-1+\frac{2}{\alpha^2}\right)\frac{\alpha^2}{4} \frac{2}{(1-\alpha^2)\sqrt{1-\alpha^2}} - \frac{2}{\alpha^2} \sqrt{1-\alpha^2} \frac{\alpha^2}{4} \frac{2}{(1-\alpha^2)\sqrt{1-\alpha^2}} \\ = \left(-1+\frac{2}{\alpha^2}\right)\frac{\alpha^2}{4} \frac{2}{(1-\alpha^2)\sqrt{1-\alpha^2}} -\frac{1}{1-\alpha^2}.$$

Sumando las dos aportaciones el término $1/(1-\alpha^2)$ se cancela y nos nos quedamos con

$$2\pi i \times \frac{1}{4i} \times \frac{1}{2} (2-\alpha^2) \frac{1}{(1-\alpha^2)\sqrt{1-\alpha^2}}$$

para un resultado final de

$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]{ \frac{\pi}{4} (2-\alpha^2) \frac{1}{(1-\alpha^2)\sqrt{1-\alpha^2}}.}$$