Diferencial del flujo de un campo vectorial

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad compacta, y sea $X$ sea un campo vectorial. Entonces su flujo, $\varphi$ genera un $1$ -grupo de parámetros de difeomorfismos $\{\varphi_t\}$ . Para cada $t$ tenemos un mapa $\varphi_t:M\to M$ . Así, para $p\in M$ el diferencial $\mathrm d(\varphi_t)_p:T_pM\to T_{\varphi_t(p)}M$ se define. ¿Existe una fórmula general para $\mathrm d (\varphi_t)_p(v),v\in T_pM$ ?

Me interesa especialmente el caso de que $X=\mathrm{grad}\,f$ , donde $f$ es una función suave y el gradiente se determina mediante una métrica de Riemann $g$ en $M$ y cuando $p$ es un punto crítico de $f$ . Entonces $X$ se desvanece en $p$ y el flujo tiene $p$ como punto fijo, por lo que $\mathrm d(\varphi_t)_p:T_pM\to T_pM$ es un endomorfismo.

Answer 1

No estoy seguro de que esto responda a tu pregunta, pero puede ser un paso en la dirección correcta. Hay una bonita ecuación llamada primera ecuación de variación del flujo dándole una ecuación diferencial para el objeto que le interesa si puede localizar en $\Bbb R^n$ : $$\frac d{dt} d(\varphi_t)(p) = dX(\varphi_t(p))d(\varphi_t)(p), \quad d(\varphi_0)(p) = \text{id}.$$ Ver también esta pregunta de SE . Así que quizás sepas lo suficiente para obtener información integrando esta ecuación diferencial de $0$ a $t$ .