Lanzar un balón de fútbol. ¿Es realmente parabólico?

Question

Conduciendo hacia el trabajo, empecé a pensar en el arco de algo que se lanza y me quedé perplejo sobre cómo el efecto de la gravedad se eleva al cuadrado por segundo para los cuerpos que caen. Intuitivamente, eso implica que la forma sería "como" una parábola. Pero tengo curiosidad por saber si realmente es parabólica. Buscando un poco en Google, he encontrado algunas explicaciones rudimentarias que me recuerdan a las explicaciones que recibí en álgebra cuando era niño (tales como http://entertainment.howstuffworks.com/physics-of-football1.htm )

Mi confusión gira en torno a la idea de que el efecto de la gravedad sobre los cuerpos que caen (referencia http://en.wikipedia.org/wiki/Equations_for_a_falling_body ) aumenta con el tiempo. Si este es el caso, ¿entonces esto no afectaría al arco de tal manera que es más largo en el extremo de liberación y se curva hacia abajo más rápido al final? Esto podría no ser tan perceptible en distancias cortas, pero intuitivamente podría desempeñar un papel importante en distancias más largas.

En otras palabras, mi pregunta es bastante simple, en cuanto algo es lanzado (disparado, proyectado, etc) se considera un cuerpo que cae. En cualquier caso, ¿el arco o trayectoria es realmente parabólico, o la trayectoria es alargada en el extremo del lanzamiento y se curva hacia abajo más rápidamente al final? Si es realmente parabólica, ¿podría dar una explicación clara de por qué no se aplica el efecto de la gravedad en el tiempo? Si mi intuición es correcta acerca de que es alargada, ¿podría compartir también una referencia útil?

Un par de suposiciones:

1. Lo que se lanza es pequeño y cercano a un cuerpo grande. Como lanzar un balón de fútbol a 1.000 millas de la superficie terrestre.
2. Ignora la resistencia del aire u otros factores para simplificar.

Actualización:

La ilustración del cañón de Newton en la respuesta de @HariPrasad nos muestra que la trayectoria de vuelo es elíptica y no parabólica. Muestra cómo la modificación de la magnitud del vector inicial, cuando el ángulo es tangente a la tierra, afecta a la elipse. Sin embargo, no muestra cómo los cambios en el ángulo del vector inicial afectan a la elipse.

¿Podemos formular una ecuación para la trayectoria (Referencia: https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse )? Espero una respuesta que explique cómo cambian las posiciones de los focos y la suma de las líneas roja y azul (necesito que el editor dé el nombre técnico) en relación con los cambios en la dirección y magnitud del vector inicial.

Answer 1

Muchas fuentes le dirán que la trayectoria de una parábola . De hecho, todas las fórmulas y cálculos matemáticos que tratan de las trayectorias de objetos que caen, son lanzados o propulsados apoyan esa interpretación. Pero cuando se trata de satélites terrestres y misiles balísticos, lo cierto es que sus órbitas son porciones de elipses .

El canon de Newton en una montaña

La bala de cañón de Newton fue un experimento mental de Isaac Newton utilizado para plantear la hipótesis de que la fuerza de la gravedad era universal y constituía la fuerza clave del movimiento planetario.

Aquí tiene una versión interactiva: El cañón de Newton en una montaña

Si un objeto tiene menos de velocidad de escape (Para la tierra es 11,2 km/s ), su trayectoria es una elipse . Si el objeto tiene una velocidad igual a la velocidad de escape, tiene un parabólica trayectoria. Si es mayor que la velocidad de escape, es hiperbólico .

Normalmente cuando lanzamos un objeto la ruta real del objeto es un parte de una elipse mayor, como muestra la imagen de abajo, pero como la velocidad no es suficiente el objeto golpea el suelo antes de completar una elíptica completa que parece ser una parábola.

Las trayectorias parabólicas se hacen cada vez más planas a medida que el cañón se dispara más rápido. Newton imaginó que la montaña era tan alta que la resistencia del aire y que el cañón era suficientemente potente.

PS: La montaña de Newton era imposible, pero se dio cuenta de que la trayectoria circular de la Luna alrededor de la Tierra podía estar causada por la misma fuerza gravitatoria que arrastra a la bala de cañón en su órbita, es decir, la misma fuerza que provoca la caída de los objetos.

La respuesta a tu pregunta es que la trayectoria del balón de fútbol es realmente "elíptica", ya que su velocidad es muy inferior a la velocidad de escape. Pero para nosotros, "aproximamos su trayectoria a una parábola".

ACTUALIZACIÓN: Respuesta matemática a su pregunta.

Podemos utilizar ecuaciones del movimiento de proyectiles como sigue.

Ecuación de la trayectoria del movimiento de un proyectil:

$\displaystyle y= x\tan\theta -{\frac{g}{2u^2\cos^2\theta}}x^2$

(sí, es una ecuación de parábola, pero ya he mencionado que las fórmulas matemáticas y los cálculos que tratan de trayectorias de objetos se aproximan a la parábola).

Ahora a partir de su pregunta podemos tener a situaciones:

CASO-1: Cuando el objeto se lanza inclinado en un ángulo $\theta_1$ con una velocidad $u$

Entonces la altura máxima que alcanzará el objeto viene dada por:

$\displaystyle h=\frac{u^2\sin^2\theta_1}{2g}$

Ahora bien $\theta_1= 30^\circ$ y velocidad inicial $u= 100\ \mathrm{m/s}$ (sólo para consideración)

Entonces la Altura máxima que alcanzará el objeto es igual a:

$h= 127.55$ metros

Ahora, utilizando el mismo ángulo y velocidad, si calculamos la distancia máxima recorrida (llamada alcance del proyectil) tenemos

$\displaystyle R_\text{max}=\frac{u^2\sin2\theta_1}{g}$

Introduciendo ahora los valores, tenemos $R=883.69$ metros

CASO-2: Cuando el objeto se lanza con un ángulo mayor que antes pero con la misma velocidad.

Ahora digamos el ángulo $\theta_2=60^\circ$ (Ángulo más alto que antes) y $u=100\ \mathrm{m/s}$

Entonces utilizando la misma ecuación utilizada anteriormente tenemos

$h= 382.65$ metros y $R= 441.83$ metros

RESULTADO:

Podemos ver claramente que el la altura máxima en el caso-1 es inferior a la del caso-2 y el el alcance máximo en el caso-1 es superior al del caso-2

Lo que significa que el camino en el caso-1 es menos alto y más lejano. Pero el camino en el caso-2 es más alto y está menos lejos. Para más información, véase la imagen siguiente.

(Perdón por los colores raros :P)

Fuente de la imagen: http://www.faculty.virginia.edu/rwoclass/astr1210/guide08.html ; https://www.lhup.edu/~dsimanek/scenario/secretos.htm .

Answer 2

Para ampliar un poco nuestros comentarios, ¿quiere decir que espera que la trayectoria tenga una forma diferente al final que al principio? De nuevo, esto sólo es posible con fricción. Si no hay rozamiento, tu ecuación de movimiento de Newton dice

$m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = m \vec{g}$

y es invariante bajo la transformación $t \mapsto -t$ (se dice que tiene simetría de inversión temporal ). La consecuencia práctica es que su trayectoria debe tener algún eje de simetría: el balón no puede moverse de forma diferente volando hacia arriba que cayendo hacia abajo, porque cada uno de estos movimientos se mapean entre sí a través de la transformación tiempo-reversión.

Sin embargo, si añade un término de fricción como

$m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = m \vec{g} - k \frac{d \vec{r}}{dt}$

(con $k >0$ )

entonces se rompe la simetría tiempo-reversa porque $\vec{v}$ se convierte en $- \vec{v}$ bajo esta transformación. Por tanto, como ha señalado @leftaroundabout, se necesita un término de fricción para obtener la distorsión de la trayectoria que describes en tu pregunta.