Supongamos que un sistema de tiempo discreto puede ser descrito por las siguientes ecuaciones del espacio de estados
$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+w(k)$
donde la señal de entrada $u(k)$ es estacionario y ergódico con $\mathbf{E}[u(k)]=0$ .
Defina entonces la matriz de covarianza
$ R(k) := \mathbf{E}\Bigg[ \begin{bmatrix} x(k)\\u(k) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x(k)\\u(k) \end{bmatrix}^\top\Bigg] = \begin{bmatrix} r_{xx}(k) & r_{xu}(k)\\ r_{xu}^\top (k) & r_{uu}(k) \end{bmatrix} $
En particular, si $u$ es persistentemente excitante de orden $n$ entonces $R(k)>0$ y en particular para el Teorema de Sylvester,
$R_{uu}(k)= \mathbf{E}\Bigg[ \begin{bmatrix} u(k)\\ \vdots \\u(k+n-1) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u(k)\\ \vdots \\u(k+n-1) \end{bmatrix}^\top\Bigg]>0$ .
Tengo dos afirmaciones/preguntas:
1) si $u$ es PE(n) entonces también es PE(n-1) por lo que es cierto que
$r_{uu}(k)=\mathbf{E}[u(k)u^\top (k)] >0 \quad ?$
2) Sabiendo que $r_{uu}(k)>0$ ¿es posible verificar que también $r_{xx}(k)=\mathbf{E}[x(k)x^\top (k)]>0$ ?
