¿Por qué funciona el volteo y la multiplicación para la división?

Question

Aprendemos de forma instrumental.

Hoy se me ha ocurrido esta sencilla pregunta.

Considere los siguientes ejemplos.

$$\frac{10}{2}=10 \times \frac{1}{2}=5$$

$$\frac{5}{3}\div \frac{2}{7}=\frac{5}{3}\times \frac{7}{2}=\frac{35}{6}$$

El primer ejemplo es fácil de explicar ya que la mitad de $10$ es $5$ .

Pero, ¿cómo podemos entender relacionalmente el proceso del segundo ejemplo?

¿Cuáles son las definiciones de las teorías detrás del " voltear y multiplicar "?

Answer 1

La razón es que $\frac{7}{2}$ es el inverso multiplicativo de $\frac{2}{7}$ sobre el campo $\Bbb Q$ es decir $$\frac{2}{7} \times \frac{7}{2} = \frac{7}{2} \times \frac{2}{7} = 1$$ Esto explica el " flip " de la "Guía del usuario". voltear y multiplicar " máxima.

Y en cualquier campo (como $\Bbb Q$ ), la división no es más que una notación abreviada para la multiplicación por el inverso multiplicativo, es decir, la expresión $$\frac{5}{3}\ \ \boxed{\div \frac{2}{7}}$$ es definida literalmente como $$ \frac{5}{3}\ \ \boxed{\times \big(\text{mult. inv. of $ \frac{2}{7} $}\big)} = \frac{5}{3} \times \frac{7}{2} $$ Así que eso explica el " multiplicación " de la "Guía del usuario". voltear y multiplicar " máxima.

Answer 2

La razón es que si $x,y$ son números racionales (o reales), entonces $x:y = x\cdot y^{-1}$ , donde $y^{-1}$ es la inversa de $y$ es decir, $y\cdot y^{-1}=1$ . Así que dividiendo por $y$ es lo mismo que multiplicar con $y^{-1}$ .

La inversa siempre está determinada de forma única. El cero no tiene inversa ya que $0\cdot x= 0$ y así $0$ es absorbente.

La inversa de $y=\frac{p}{q}$ es $y^{-1}=\frac{q}{p}$ desde $\frac{p}{q}\cdot\frac{q}{p} = \frac{pq}{qp}=1$ .

En su caso, la inversa de $\frac{2}{7}$ es $\frac{7}{2}$ . Así, $$\frac{5}{3}:\frac{2}{7} = \frac{5}{3}\cdot \frac{7}{2} = \frac{5\cdot 7}{3\cdot 2}.$$

Answer 3

Tenga en cuenta que $$\frac {a}{b}=a\times \frac {1}{b}$$ Así, $$\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=$$

$$\frac {ad}{bc}$$

Answer 4

Puedes hacerlo:

Si $$\frac 53\div \frac 27=A$$ entonces $$\frac 53=A \times \frac 27$$ fracciones claras $$5\times 7=A\times 2 \times 3$$ para que $$A=\frac {5\times 7}{3\times 2}=\frac 53\times \frac 72$$

De donde $$\frac 53\div \frac 27=\frac 53\times \frac 72$$

Y esto claramente no depende de los valores particulares $5, 3, 2, 7$

Answer 5

Multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por un número (distinto de cero) no cambia su valor. Como $$\frac53:\frac27=\frac{\frac53}{\frac27}$$ podemos multiplicar el numerador y el denominador por $3\cdot7$ para obtener $$\frac53:\frac27=\frac{\frac53}{\frac27} =\frac{5\cdot7}{3\cdot 2}.$$