Hay una "línea" a prueba de $x<y\Rightarrow x^n<y^n$ ($n$ un número natural impar)?

Question

Dada la costumbre de campo y ordenar los axiomas de los números reales, no es difícil probar que $x<y$, sin más restricciones en los signos de $x$$y$, implica $x^n<y^n$, $n$ un número natural impar. Sin embargo, todas las pruebas a las que me he visto y venir con mi mismo parecen depender de distinguir entre las distintas combinaciones posibles de los signos de $x$$y$. Yo encontrar tal "caso por caso" de las pruebas, especialmente de primaria de los hechos, más bien desagradables.

Ahora, mi pregunta es: ¿existe un elegante una línea de prueba del hecho de que $x<y\Rightarrow x^n<y^n$ ($n$ un número natural impar), que no toma en cuenta los signos de $x$$y$?

Gracias por leer y por los comentarios!

Answer 1

$f(t)=t^{2k+1}$ es estrictamente monótona de la función, como $f'(t)>0$ (excepto en $t=0$).

Answer 2

El De "Una Línea": $$ x^n - y^n = \frac{(X-Y)^n - (X+Y)^n}{2^{n/2}} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{\left[ X^{n-k}Y^k \left( (-1)^k - 1 \right) \right]}{2^{n/2}} = N Y = P (x - y) $$ donde $N$ es negativo y $P$ es un número positivo (ambas dependientes del particular $x$, $y$).

Explicación: \begin{align} x^n - y^n &= \frac{1}{2^{n/2}} \left[ (X-Y)^n - (X+Y)^n \right] \\ &= \frac{1}{2^{n/2}} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left[ X^{n-k}(-1)^k Y^k - X^{n-k} Y^k \right] \\ &= \frac{1}{2^{n/2}} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left[ X^{n-k} Y^k ((-1)^k - 1) \right] \quad (*) \\ &= N Y \\ &= \frac{N}{\sqrt{2}} (y - x) \\ &= -\frac{N}{\sqrt{2}}(x - y) \\ &= P (x - y) \end{align} Éste utiliza una transformación de coordenadas $(x,y) \to (X,Y)$, una rotación por $-45^\circ$, para mover todos los puntos con $x < y$ en la mitad superior del plano tales que la expresión se simplifica.

Aquí están las parcelas (3D, isolíneas) por $x^3 - y^3$ antes y después de la rotación:

$\quad$ $\quad \begin{matrix}\to \\ \\ \\ \\ \\ \end{matrix} \quad$ $\quad$

Vemos que $N$ se compone principalmente de los poderes de la expansión binomial, y luego transformamos la espalda.

La necesaria hecho de que $n$ es impar se utiliza en $(*)$ a notar que las diferencias $n-k$ son uniformes, por lo $X$ se muestra incluso con poderes, mientras que el $Y$ se queda con potencias impares, por lo que se puede extraer $Y$ y son de izquierda, incluso con los poderes de $X$$Y$.

Answer 3

$$\begin{align}y^n-x^n=(y-x)\sum_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}=y^{n-1}(y-x)\underset{\text{$>1+x/y>0$ if} \ \lvert x/y\rvert<1}{\underbrace{\sum_{k=0}^{n-1}(x/y)^k}}&\ge y^{n-1}(y-x)\underset{>0\ \text{if}\ \lvert x/y\rvert>1}{\underbrace{\sum_{k=0}^{(n-1)/2}\lvert x/y\rvert^{2k}(1-\lvert x/y\rvert^{-1})}}\end{align}$$