Convergencia de la secuencia $\displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{p}( (p-1)a_n+\frac{a}{a_n^{p-1}})$

Question

Entonces, estoy tratando de establecer la convergencia de la secuencia $\{a_n\}$ definido como:

$$a_{n+1} = \frac{1}{p}( (p-1)a_n+\frac{a}{a_n^{p-1}}) \text{ , } n\in \mathbb{N}$$

donde $a>0$ y $a_1>0$ .

Así que, antes de que voten por cerrar esta pregunta porque probablemente ya se ha planteado numerosas veces, quiero decir que ya he establecido la convergencia por mi cuenta, pero he llegado a dos conclusiones que pueden ser contradictorias y no puedo entender por qué ocurre esto. Tal vez estoy demasiado cansado ahora, pero he estado pensando en esto durante casi una hora y no tengo más energía para resolver la cuestión por mi cuenta:

El primer resultado se obtiene simplemente aplicando AM-GM:

$$a_{n+1} = \frac{1}{p}( (p-1)a_n+\frac{a}{a_n^{(p-1)}}) \geq \sqrt[p]{a_n^{p-1} \cdot \frac{a}{a_n^{p-1}}} = \sqrt[p]{a}$$

Así, para $n \in \mathbb{N}$ , $a_{n+1} \geq \sqrt[p]{a}$

Por lo tanto, esto tiene sentido para mí, pero uno puede ver fácilmente que también tenemos:

$$a_{n+1}-a_{n}= \frac{1}{p}( (p-1)a_n+\frac{a}{a_n^{p-1}}) - \frac{1}{p}( (p-1)a_{n-1}+\frac{a}{a_{n-1}^{p-1}})$$ $$\implies p(a_{n+1}-a_{n})= (p-1)(a_{n}-a_{n-1}) + a(\frac{1}{a_n^{p-1}} + \frac{1}{a_{n-1}^{p-1}})$$

Así que aquí es donde comienza mi confusión:

Demostremos por inducción que si $a_1 < \sqrt[p]{a}$ entonces $\{a_n\}$ es creciente y si $a_1 > \sqrt[p]{a}$ entonces $\{a_n\}$ es decreciente. Si $a_1 = \sqrt[p]{a}$ entonces $\{a_n\}=\{a_1\}$ se convierte en una secuencia constante.

Así, para establecer la base de la inducción, si manipulamos las ecuaciones obtenemos

$$a_2 - a_1 = \frac{a-a_1^p}{pa_1^{p-1}}$$

Esto demuestra la base de la inducción en los tres casos. El resto se deduce inmediatamente de $\displaystyle p(a_{n+1}-a_{n})= (p-1)(a_{n}-a_{n-1}) + a(\frac{1}{a_n^{p-1}} + \frac{1}{a_{n-1}^{p-1}})$

Ahora, aquí está la contradicción:

Si $a_1 < \sqrt[p]{a}$ entonces $\{a_n\}$ debe ser una secuencia creciente como acabo de demostrar por inducción, mientras que, la desigualdad AM-GM dice que todos los términos de la secuencia más allá de $a_2$ debe ser mayor o igual que $\sqrt[p]{a}$ ¡! Esto implica que la secuencia debe divergir a $+\infty$ Supongo que sí. ¿No es así?

Pero estoy empezando a pensar, haciendo ejemplos numéricos, que en una situación real, si empezamos con $a_1 < \sqrt[p]{a}$ la secuencia salta primero a algún número por encima de $\sqrt[p]{a}$ y luego comienza a disminuir hasta que converge a $\sqrt[p]{a}$ al final.

¿Puede alguien decirme qué está pasando?

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EDITAR

Vale, he tenido un error de signo como ha señalado gammatester. He modificado mi prueba y ahora creo que he resuelto el problema correctamente:

$$a_{n+1}-a_{n} = \frac{a-a_{n+1}^p}{pa_{n+1}^{p-1}}$$

Desde $a_{n+1} \geq \sqrt[p]{a}$ concluimos $a_{n+1} \leq a_{n}$ . Entonces, la secuencia es decreciente y acotada por debajo, por lo tanto, es convergente.

Answer 1

Lo que has mostrado es exactamente esto:

Si $a_n\lt\sqrt[p]{a}$ entonces $a_{n+1}\gt a_n$ .

Para usar esto en el rango $n+1$ para deducir que $a_{n+2}\gt a_{n+1}$ , habría que saber que $a_{n+1}\lt\sqrt[p]{a}$ , lo cual no es así. En realidad, $(p-1)x+a/x^{p-1}\geqslant p\sqrt[p]{a}$ por cada $x\gt0$ por lo que $a_n\geqslant\sqrt[p]{a}$ por cada $n\geqslant2$ . Así que, no hay contradicción de ZF aquí...