Demostrar $|a+b|+|a-b| \geq |a|+|b|$

Question

Estoy luchando con esta prueba de escritura de problema por un tiempo. La declaración dice $$|a+b|+|a-b| \geq |a|+|b|.$$
Sé el triángulo de la desigualdad que dice$$|a+b| \leq |a|+|b|.$$

¿Cómo puedo usar esta desigualdad para demostrar la anterior afirmación? Voy a añadir la distancia entre el$a$$b$$|a+b|$, luego se transforma el triángulo de la desigualdad a otra dirección. Cómo puedo probar esto en una forma matemática?

Answer 1

Sugerencia: Si $a$ $b$ tienen distintos signos, a continuación, sus magnitudes están sumando en la misma dirección en $|a-b|$. De lo contrario, es decir, si tienen los mismos signos, esto está sucediendo en $|a+b|$. Y el otro término en el lado izquierdo ($|a+b|$ en el primer caso y $|a-b|$ en el segundo) siempre es positivo. Todo está en magnitudes cuando se trabaja con valores absolutos.

Answer 2

Denotar $$ {x=a+b \\ y=a-b} $$ Luego, con el triángulo de la desigualdad, $$|a|=\dfrac{1}{2}(|x+y|)\leqslant\dfrac{1}{2}(|x|+|y|) \\ |b|=\dfrac{1}{2}(|x-y|)\leqslant\dfrac{1}{2}(|x|+|y|), $$ por lo tanto $$ |a|+|b|\leqslant |x|+|y|=|a+b|+|a-b|. $$

Answer 3

Estoy siguiendo lo que dijo el papa sobre los números complejos:

Deje $a$ $b$ ser de dos números complejos. En el plano complejo los puntos con los afijos $0$, $a$, $b$ y $a+b$ forma un paralelogramo. Dos diagonales de un paralelogramo tiene una longitud total mayor que la suma de las lentgh de dos lados adyacentes (use la desigualdad triangular en dos triángulos adyacentes). Esto significa que: $|a-b| + |a+b| \geq |a| + |b|$. En particular, esto es si $a$ $b$ son reales (el parallelogramm es plano).

Esto podría ser generalizado a vectorial normativa espacios. Espero que esto ayude.

Answer 4

EDIT: me dan una nueva prueba, que es mejor que el anterior (véase la vieja de abajo).

Voy a probar algo más fuerte: $|a+b|+ |a-b| \ge 2\max \{ |a|,|b| \}$. Asumir WLOG que $|a| \ge |b|$. Cuadrado ambos lados para obtener los siguientes equivalente a la desigualdad (el uso de $|a\pm b|^2 = |a|^2 + |b|^2 \pm 2(a\overline{b} + b\overline{a})$:

$$2(|a|^2+|b|^2) + 2|a^2-b^2| \ge 4|a|^2$$ Que es lo mismo que: $$|a^2-b^2| \ge |a^2|-|b^2|$$ Que a su vez es una aplicación directa de la desigualdad de triángulo.

Mi viejo la prueba:

Desde ambos lados son no negativos, si me tome el cuadrado de los dos lados me sale un equivalente de la desigualdad. Mediante el uso de $|a\pm b|^2 = |a|^2 + |b|^2 \pm 2(a\overline{b} + b\overline{a})$, obtenemos: $$|a|^2 + |b|^2 + 2|a^2-b^2| \ge 2|ab|$$ Desde $(|a|-|b|)^2 \ge 0$,$|a|^2+|b|^2 \ge 2|ab|$, y debido a $|a^2-b^2|\ge 0$, la desigualdad de la siguiente manera.

La igualdad se produce cuando $|a^2-b^2|=0$$|a|=|b|$, es decir,$a=\pm b$.

(Debo admitir que prefiero a ashley de la prueba, aunque después de mi edición de la prueba de que funciona para los números complejos también)